Penggunaan ketidaksetaraan Schwarz untuk membuktikan ketidaksetaraan Chung Erd
Saya mencoba memahami bukti ketidaksetaraan Chung Erd. Semua sumber yang dapat saya temukan (termasuk pertanyaan dan jawaban terkait di MSE) menyatakan sesuatu di sepanjang baris berikut: if$A_1, \ldots, A_n$ adalah acara dan jika $X_i$ adalah variabel acak yang diberikan oleh fungsi karakteristik $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, maka ketimpangan berikut mengikuti dari ketimpangan Schwarz:
$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$
Saya mungkin menjadi sangat bodoh tentang ini, tetapi saya tidak bisa melihat bagaimana menerapkan ketidaksetaraan Schwarz untuk mendapatkan yang di atas.
Jawaban
Salah satu bentuk ketimpangan Cauchy-Schwarz adalah itu $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Ini adalah ketidaksamaan CS yang biasa diterapkan pada ruang variabel acak bernilai nyata dengan momen kedua, dengan hasil kali dalam$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)
Terapkan ini dalam kasus tersebut $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ dan $V=I_{U>0}$. Catat itu$E[U]=E[UV]$, itu $V^2=V$ dan itu $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, memberikan ketidaksetaraan Anda $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$
Membiarkan $X = X_1 + \cdots + X_n$ dan dilambangkan dengan $f$ fungsi kepadatan probabilitasnya.
Menulis $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. Kemudian
$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$
oleh Cauchy-Schwarz.