Perhitungan di bidang fungsi rasional.

Question

Dalam Dummit and Foote 3 ed., Bab 14, Bagian 2, Latihan 30, saya ditanyai yang berikut ini:

Membiarkan $ k $ menjadi ladang, $ k(t) $ bidang fungsi rasional dalam variabel $ t $. Tentukan peta$ \sigma $ dan $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ oleh $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ untuk $ f(t) \in k(t) $. Buktikan bahwa bidang tetap$ \langle \tau \rangle $ adalah $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, bidang tetap dari $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ adalah $ k(t(1-t)) $; tentukan bidang tetap dari$ \langle \tau \sigma \rangle $ dan $ \langle \sigma \rangle $.

Satu-satunya bagian yang saya perjuangkan adalah bidang tetap $ \langle \sigma \rangle $. Panggil bidang tetap ini$ E = k(s) $, dimana $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $adalah beberapa fungsi rasional. Perhatikan , saya membuat asumsi di sini bahwa$ E $ adalah dari bentuknya $ k(s) $, dan sejauh ini tidak dapat membenarkan hal ini secara apriori . Saya telah menunjukkan dalam latihan sebelumnya dari bab sebelumnya bahwa$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, jadi, sejak $ k(t)/k(s) $ adalah ekstensi Galois ($k(s)$ menjadi bidang tetap dari subkelompok automorfisme), saya harapkan $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Yang bisa saya capai pada saat ini adalah pemecahan persamaan brute-force oleh komputer, pengaturan $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dari $ \sigma s = s $. Saya dengan demikian menemukan elemennya$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Oleh karena itu saya cenderung menyimpulkan itu$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ adalah bidang tetap dari $ \langle \sigma \rangle $. Pendekatan ini terasa tidak elegan, dan saya ingin tahu alat apa yang mungkin telah saya gunakan untuk menghindari pencarian komputer yang tidak memuaskan dan buram.

Answer 1

Untuk $G$ subkelompok terbatas dari $Aut(k(t)/k)$ maka subbidang tetap adalah $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ dimana $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.

Kemudian ambil koefisien non-konstan $a_m(t)$, karena masing-masing $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ adalah transformasi Mbius yang kita dapatkan itu $a_m(t)$ memiliki paling banyak $|G|$ kutub dihitung dengan multiplisitas (termasuk kutub di $\infty$), jadi $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ yang menyiratkan itu $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

Edit oleh OP: untuk masalah ini, teknik menghasilkan elemen $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, mengulangi kalkulasi komputer.