Perilaku lokal dari sebuah modul yang dilokalkan pada ideal utama

Question

Membiarkan $R$ menjadi cincin komutatif dan $p,q$ menjadi dua cita-cita utama $R$ dengan $q\subset p$. Kita tahu$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $sebagai cincin. Membiarkan$M$ kacang $R$-modul. Benarkah itu$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ sebagai $R_q$-modul?

Answer 1

Diberikan $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ dan $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, kita punya

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

yang menunjukkan isomorfisme yang diinginkan.