Perkiraan derajat homomorfisme

Question

Mengenai pertanyaan dan pembahasan berikut:

Apakah derajat homomorfisme $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ dugaan?

Kami setuju jika $X$adalah kurva di atas bidang yang tertutup secara aljabar , jawabannya adalah ya, dan tidak selalu sebaliknya. Apa jawabannya dalam kasus itu$X$yang dimaksud dengan kurva di atas bidang tertutup terpisah ?

Apakah ini kondisi yang cukup untuk derajat homomorfisme menjadi surjective?

Answer 1

Jawabannya adalah ya, dengan asumsi Anda menganggap "kurva" berarti "tereduksi secara geometris". Setiap dikurangi secara geometris$k$-skema tipe hingga memiliki a $k^s$poin demi proposisi 3.2.20 dari Kurva Aritmatika dan Geometri Aljabar Liu (ide buktinya adalah bahwa$k(X)/k$dapat dipisahkan, dan lokus perilaku tersebut terbuka untuk skema tipe terbatas di atas bidang). Ini membuktikan klaim Anda, dengan asumsi Anda mengambil pengurangan geometris sebagai bagian dari definisi kurva Anda: pilih yang biasa$k^s$ titik.

Anda juga dapat membaca Stacks 04QM untuk detail tentang pernyataan di atas.