Perkiraan waktu penghentian gerakan Brownian yang keluar dari saluran [a, -b]

Question

Membiarkan $W(t)$menjadi gerakan Brownian Standar. Membiarkan$\tau$ menjadi yang pertama kali $W(t)$ mencapai level mana pun "$a$"atau level"$-b$". Apa cara yang paling mudah untuk menghitung$\mathbb{E}[\tau]$?

Saya bisa menunjukkan kemungkinan itu $W(t)$ hit level "$a$" sebelum "$-b$"dan sebaliknya, tetapi saya tidak dapat dengan mudah menghitung ekspektasi waktu berhenti $\tau$.

Untuk menunjukkan probabilitas itu $W(t)$ hits "$a$" sebelum "$b$", Saya berasumsi $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$, sehingga dengan teorema penghentian opsional Doob, $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(yaitu proses yang dihentikan adalah martingale). Kemudian:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

Menurut definisi $\tau$, kami punya itu $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, yang seperti itu:

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

Memecahkan $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ memberikan: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

Pertanyaan 1 : Bagaimana saya bisa dengan mudah menunjukkannya$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$, sehingga saya dapat memverifikasi bahwa saya memang dapat menggunakan teorema penghentian opsional Doob?

Pertanyaan 2 : Bagaimana saya bisa menghitung$\mathbb{E}[\tau]$ dengan cara yang sesederhana mungkin?

Answer 1

Anda mungkin tahu (dan jika tidak, dapat dengan mudah memeriksa) proses tersebut $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ adalah martingale.

Sekarang pertimbangkan, untuk $n \in \mathbb{N}$, waktu berhenti (dibatasi) $$T_{n}=T \wedge n$$

Terapkan Teorema Penghentian Opsional $T_{n}$ mencatat itu $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ dan $T_{n} \le n$

Gunakan teorema konvergensi monoton untuk mendapatkan $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

Sekarang gunakan konvergensi yang didominasi untuk menyimpulkan $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

yang sudah Anda ketahui.

Ini memberi Anda $E[T]$.