Permintaan bukti alternatif: If $C=\{x^2,x\in S\}$, menunjukkan bahwa $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$

Question

Pertanyaan ini hanya memiliki jawaban menggunakan teorema yang mengandalkan kesinambungan fungsi non-penurunan. Sementara saya (pikir saya) dapat memahami jawabannya, saya memiliki latihan yang sama, tetapi kami masih belum mempelajari kontinuitas, kami mempelajari bilangan real dan bersiap untuk mempelajari urutan. Mungkin karena melihat jawaban ini, satu-satunya cara yang saya lihat untuk membuktikan ini adalah dengan menggunakan kontinuitas juga, tetapi pasti ada cara tanpa menggunakan teorema tentang kontinuitas. Adakah yang bisa menunjukkan kepada saya cara untuk membuktikan ini hanya dengan properti bilangan real / supremum / infimum / etc?

Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Petunjuk

• Seharusnya $S\subset [0,\infty )$. Membiarkan$c=\sup C$ dan $s=\sup(S)$. Membiarkan$\varepsilon >0$. Ada$x\in C$ st $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$. Karena itu berlaku untuk semua$\varepsilon >0$, kita $c\leq s^2$.

• Seandainya $c<s^2$, yaitu ada $x\in S$ st $c<x^2\leq s^2$. Ini bertentangan dengan fakta bahwa$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$.

Karena itu $c=s^2$ seperti yang diharapkan.

---

Saya membiarkan Anda menyesuaikan bukti dalam kasus di mana $S\subset \mathbb R$ dari pada $S\subset [0,\infty )$ hanya.