Persamaan diferensial integral tak linier
Saya mencoba untuk memecahkan pertanyaan dari tutorial matematika untuk fisika yang tidak pernah dilakukan karena pandemi sehingga saya tidak tahu jawaban atau metode yang tepat untuk menyelesaikannya. Namun demikian, inilah pertanyaannya dan upaya saya untuk memecahkannya. Umpan balik, saran tentang bagaimana mendekatinya dan rekomendasi bacaan lebih lanjut akan sangat dihargai.
Biarkan persamaan gerakan menjadi: $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ dan, $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ dimana $V(x)$ adalah potensi turunan yang diketahui dan $E$ tidak tergantung $t$.
- Dengan integrasi pemberian persamaan $\dot{x}$, Ekspresikan solusi dengan kondisi awal $x(t_0)=x_0$ dalam bentuk t (x).
Dari persamaan $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
Mengambil akar positif dan dari kondisi awal kita tahu $Cste=-t_0$
$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2. Biarkan potensi peningkatan pada tak terhingga menjadi: $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ dimana $C>0$ dan $a>0$. Kami mempertimbangkan sebuah partikel dengan kecepatan awal$v_0>0$. Berikan perilaku asimtotik$x(t)$ kapan $E>0$ dan $E=0$.
Saya mencoba mengganti ekspresi$V(x)$ pada tak terhingga dalam integral: $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ Saya mencoba mengubahnya dalam bentuk $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ dengan substitusi tetapi telah menjadi jelas bagi saya bahwa tidak mungkin mungkin saya tidak diizinkan untuk secara langsung mengganti ekspresi $V(x)$di tak terbatas.
Saya juga berpikir ada jalan keluar dari pertanyaan ini tanpa harus menghitung integral tetapi sepertinya saya tidak dapat menemukannya. Semoga seseorang bisa membantu saya.
Jawaban
Saya yakin Anda menjawab pertanyaan pertama dengan benar, namun masalah pada pertanyaan kedua muncul dari fakta bahwa Anda mencoba mendapatkan anti-derivatif yang menurut saya sangat sulit. Inilah pendekatan saya:
Mari kita asumsikan bahwa x mendekati tak terhingga maka kita punya,$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Mari kita ganti ini dalam persamaan $(1)$ dan mengintegrasikannya: $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ jadi kita punya: $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ juga, $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ membiarkan $D=a(2a+2)(2a+3)$, $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ mengganti ini dalam persamaan $(2)$ karena kami ingin memperkenalkan $E$ dalam solusi untuk mempelajari perilaku asimtotik:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
Berikut grafiknya$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ (dimana $a$ dan $Z$adalah konstanta) untuk memberi Anda ide yang lebih baik. Bermainlah dengan slider untuk melihat perilaku fungsi.
Kita dapat melihat dari grafik bahwa jika$E=0$ sebuah partikel pada posisi $x_1$ mulai mendekat $x=0$, yang dapat kita anggap sebagai asal usul potensi, dibutuhkan waktu yang tidak terbatas untuk mencapainya (untuk sebagian besar tujuan praktis, kita dapat menganggapnya saat dihentikan). Dan jika$E>0$ hal yang sama terjadi tetapi kesenjangan meningkat yang menandakan bahwa partikel tersebut berhenti secara asimtotik sebelum mencapai asalnya.