Pertanyaan tentang turunan pecahan

Question

Saya hampir tidak tahu apa-apa tentang kalkulus pecahan jadi saya mohon maaf sebelumnya jika pertanyaan berikut ini konyol. Saya sudah mencoba math.stackexchange.

Saya hanya ingin bertanya apakah ada pengertian turunan pecahan yang linier dan memenuhi sifat berikut $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ dimana $\alpha$adalah skalar. Dalam kasus turunan standar yang kami miliki$\alpha = n$.

Terima kasih banyak.

Answer 1

Pada dasarnya tidak ada solusi menarik untuk persamaan ini di luar operator orde pertama dan ke-nol, bahkan jika seseorang hanya memaksakan batasan yang dinyatakan untuk $n=2$.

Pertama, kita dapat mendepolarisasi hipotesis$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ dengan mengganti $f$ dengan $f+g, f-g$ untuk fungsi sewenang-wenang $f,g$ dan mengurangi (lalu membaginya dengan $4$) untuk mendapatkan identitas jenis Leibniz yang lebih fleksibel $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

Sekarang ada tiga kasus, bergantung pada nilai $\alpha_2$:

1. $\alpha_2 \neq 1,2$. Menerapkan (2) dengan$f=g=1$ kami kemudian menyimpulkan itu $D^u(1)=0$, dan kemudian menerapkan (2) lagi dengan just $g=1$ kita mendapatkan $D^u(f)=0$. Jadi kami memiliki solusi yang sepele$D^u=0$ pada kasus ini.
2. $\alpha_2=2$. Kemudian$D^u$adalah derivasi dan induksi yang kita miliki$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, sama halnya dengan turunan biasa, jadi baru saja kita miliki $\alpha_n=n$ untuk semua $n$ tanpa perilaku pecahan.
3. $\alpha_2=1$. Menerapkan (2) dengan$g=1$ kami memperoleh (setelah sedikit aljabar) $D^u(f) = mf$ dimana $m := D^u(1)$. Jadi$D^u$ hanyalah operator pengganda, yang patuh $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, jadi $\alpha_n=1$ untuk semua $n$.

Jadi tidak ada solusi linier untuk persamaan Anda selain dari derivasi biasa (mis., $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ untuk simbol halus apa pun $a$) dan operator pengganda $D^u(f) = mf$, yaitu, operator urutan pertama dan urutan ke-nol.

Di sisi lain, turunan pecahan $D^u$ cenderung mematuhi "aturan rantai pecahan" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ untuk berbagai fungsi halus $F,f$, dimana kesalahannya $E$mematuhi perkiraan yang lebih baik di berbagai ruang Sobolev daripada dua istilah lainnya dalam persamaan ini. Secara khusus, untuk$F(t) = t^n$, kami akan melakukannya $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ untuk istilah kesalahan yang "baik" $E$. Misalnya, pengambilan$u=n=2$ dengan $D$ turunan biasa, kami punya $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ dengan $E$operator " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Perhatikan bahwa kesalahan tersebut $E$ dikontrol secara seragam oleh $C^1$ norma $f$tetapi dua istilah lainnya dalam (3) tidak. Lihat jawaban MathOverflow saya sebelumnya dihttps://mathoverflow.net/a/94039/766 untuk beberapa referensi dan pembahasan lebih lanjut.

Answer 2

Tampaknya Anda benar-benar menginginkannya $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, dimana $\alpha$ adalah skalar.

Tidak ada alasan untuk ini menjadi benar, dan ini memang salah secara umum. Misalnya, untuk$n=2$dan turunan pecahan Riemann - Liouville dari$f:=\exp$ dengan $u=1/2$, $a=0$, dan $x>0$ kita punya $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ sedangkan $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ maka $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ tidak seperti konstanta lainnya.

Apalagi istilahnya $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ dalam ekspresi untuk $(D^u(f^n))(x)$ di sini versus istilah $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ dalam ekspresi untuk $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ tampaknya membuatnya sangat tidak mungkin bahwa jenis turunan pecahan lainnya akan bekerja seperti yang Anda inginkan.

Answer 3

Rumus Leibniz umum yang dapat diterapkan pada pecahan integroderivatif klasik adalah

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

dimana $D_L$ bertindak atas fungsi di sebelah kiri produk dan $D_R$di fungsi yang benar. Lihat, misalnya, aturan Leibniz dan analog integral untuk turunan pecahan melalui rumus transformasi baru oleh Fugere, Gaboury, dan Tremblay.

Aturan Leibniz umum ini berlaku untuk integroderivatif pecahan yang memenuhi aksioma yang masuk akal yang diberikan oleh Pincherle yang dijelaskan dalam "Peran Salvatore Pincherle dalam Pengembangan Kalkulus Pecahan" oleh Francesco Mainardi dan Gianni Pagnini - mereka yang puas dengan turunan biasa yang dinaikkan ke pangkat integral, negatif atau positif. Perwakilan dari operasi ini disajikan dalam MSE-Q ini dan dapat digunakan untuk menentukan konfluen (lihat MO-Q ini ) dan fcts hipergeometrik biasa.

Ini repetisi $D^{\omega}$berada di jantung definisi gamma Euler dan fungsi beta melalui integral, generalisasi faktorial integral dan koefisien binomial integral (lihat balasan saya ke / ref di MO-Q ini ), yang sering digunakan sebagian besar peneliti dalam upaya matematika mereka- -Berbeda dengan beberapa pendapat yang diungkapkan di MO. Lihat contoh turunan setengah dalam MO-Q ini (yang tampaknya membingungkan banyak pengguna dengan beberapa operator diferensial semu yang ditentukan oleh transformasi Fourier).