Pertukaran antara hypervolume dan diameter $d$bentuk -dimensi yang memiliki kotak pembatas terkecil hypercubic

Question

Diberikan apapun $d$bentuk -dimensi $X$, biarkan $V(X)$ jadilah itu $d$volume -dimensi, dan biarkan $\ell(X)$ menjadi panjang segmen garis terpanjang yang menghubungkan dua titik $X$.

Membiarkan $\mathcal{S}_C$ menjadi set segalanya $d$bentuk -dimensi sedemikian rupa sehingga kotak pembatas minimumnya adalah a $d$kubus -dimensi $C$. Saya tertarik untuk mengukur trade-off antara$\frac{V(X)}{V(C)}$ dan $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ lebih $X\in\mathcal{S}_C$ (secara informal, berapa banyak $\frac{V(X)}{V(C)}$ bisa jadi besar $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ kecil).

Pertanyaan: Bisakah kita membuktikannya$d\gg 1$ dan untuk semua $X\in\mathcal{S}_C$ ada konstanta $c$ sehingga ketidaksetaraan berikut selalu terjadi? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Answer 1

Ini agak terlalu panjang untuk kotak komentar, jadi saya mempostingnya sebagai jawaban.

Skenario kasus terburuk adalah kapan $X$ adalah perpotongan dari bola berjari-jari $r\ge 1$ dengan kubus $C=[-1,1]^d$. Memang kalau kita ambil bedanya bodi$\frac{X-X}{2}$ dari tubuh manapun $X$ terkandung dalam kubus dan diameter $\ell=2r$, kita akan mendapatkan benda yang terkandung dalam kubus dan juga dalam bola jari-jari $r$dan volume tidak akan berkurang Brunn-Minkowski. Juga, karena badan seperti itu berisi bola unit, kubus standar, memang, kotak minimal untuk itu. Sejak$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, kita melihat bahwa untuk tubuh itu ketidaksetaraan yang terbalik selalu terjadi.

Akan menyenangkan untuk menemukan perkiraan yang layak untuk volume persimpangan itu untuk melihat apa yang terjadi di rezim kapan $r/\sqrt d$ tetap diperbaiki dan $d\to\infty$, katakanlah.