peta inklusi dalam manifold halus

Question

Diberikan manifold halus $M$ dan itu submanifold $S$(misalnya, subset terbuka dari $M$) kami memiliki peta inklusi $i:S\to M$.

Dan kami memperlakukan $i$ sebagai $i(x) = x$ khas.

Sebagai contoh $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ valid untuk didefinisikan $i(x) = x$ Tapi sepertinya bukan inklusi misalnya $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ sebagai $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$

Jadi saya agak bingung apa definisi inklusi di sini? $i(x) = x$?

Apakah "penyertaan" ini merupakan embedding topologis secara default atau tidak?

Saya menemukan penjelasan di sini

Answer 1

Sebenarnya ada kehalusan yang lebih dalam: Gagasan tentang submanifold dapat menimbulkan banyak kebingungan: Apakah Anda ingin submanifold dibenamkan, apakah Anda ingin submanifold tertanam?

Sebuah submanifold tenggelam $S$ dari bermacam-macam $M$adalah gambar berjenis di bawah pencelupan. Sebuah perendaman adalah peta halus dengan turunan injective.

Embedding adalah embedding topologi , yaitu homeomorfisma pada citranya (sehubungan dengan topologi subruang), yang juga merupakan imersi injeksi.

Catatan !: Perendaman tidak selalu bersifat suntik, atau embedding topologis!

Answer 2

peta inklusi selalu didefinisikan sebagai $i(x) = x$ .

alasan mengapa kami menelepon $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ Peta inklusi berada di bawah representasi koordinat memiliki bentuk ini, tetapi untuk submanifold yang disematkan $S\subset M$. Inklusi adalah$i(x) = x$

Ketika kita berbicara tentang manifold halus, kita tidak boleh berasumsi peta inklusi adalah embedding topologi.

Jika $S\subset M$ sebagai submanifold terbenam halus, dan $S$ memiliki topologi subruang, bisa kita asumsikan $i$ sebagai imbedding topologis