Probabilitas penyimpangan ketika ketimpangan Jensen hampir ketat

Question

Ini adalah pengiriman silang ke pertanyaan yang belum terjawab di Math StackExchange

https://math.stackexchange.com/questions/3906767/probability-of-a-deviation-when-jensen-s-inequality-is-almost-tight

Membiarkan $X>0$menjadi variabel acak. Misalkan kita tahu itu untuk beberapa orang$\epsilon \geq 0$, \ begin {eqnarray} \ log (E [X]) \ leq E [\ log (X)] + \ epsilon \ tag {1} \ label {eq: primary} \ end {eqnarray} Pertanyaannya adalah: jika$\epsilon$kecil, dapatkah kita menemukan batas yang bagus untuk \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) \ end {eqnarray *} untuk$\eta > 0$. Satu ikatan dapat diperoleh dengan cara ini: \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) & = & P \ left (X> \ exp ( E [\ log (X)] + \ eta) \ kanan) \\ & \ leq & E [X] / \ exp (E [\ log (X)] + \ eta) \\ & = & \ exp (\ log E [X] - E [\ log (X)] - \ eta) \\ & \ leq & \ exp (\ epsilon - \ eta) \ end {eqnarray *} di mana pertidaksamaan pertama mengikuti dari ketidaksamaan Markov. Ini sepertinya ikatan yang bagus karena peluruhan eksponensial dengan$\eta$, tetapi setelah diteliti lebih dekat, tampaknya hal itu dapat ditingkatkan secara signifikan. Jika kita punya$\epsilon = 0$, maka batas ini memberikan \ begin {eqnarray} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) & \ leq & \ exp (- \ eta) \ tag {2} \ label {eq: good_but_not_best} \ end {eqnarray} Namun, dari ketidaksamaan Jensen diterapkan ke (\ ref {eq: primary}) dengan$\epsilon = 0$ kami dapatkan $\log(E[X]) = E[\log(X)]$ dan oleh karena itu $X$adalah konstanta hampir di semua tempat. Sebagai konsekuensinya, untuk apapun$\eta>0$, \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) = 0. \ end {eqnarray *} yang (tentu saja) jauh lebih baik daripada ( \ ref {eq: good_but_not_best}).

Tampaknya batas yang lebih baik harus meluruh menjadi nol sebagai $\epsilon$ meluruh, dan idealnya mempertahankan peluruhan eksponensial dengan $\eta$. Ada saran?

(Saya tahu versi pertanyaan ini telah ditanyakan sebelumnya Versi Kuantitatif dari Ketimpangan Jensen? )

Answer 1

$\newcommand\ep\epsilon $Membiarkan $u:=\eta>0$, sehingga probabilitas yang dimaksud adalah $P(\ln X>E\ln X+u)$. Perhatikan bahwa probabilitas ini tidak akan berubah jika kita mengganti di sana$X$ oleh $tX$ nyata $t>0$. Jadi, tanpa kehilangan keumuman \ begin {persamaan *} E \ ln X = 0, \ tag {-1} \ end {persamaan *} dan karena itu kondisi Anda (1) dapat ditulis ulang sebagai \ begin {persamaan *} EX \ le e ^ \ ep, \ tag {0} \ end {persamaan *} lalu probabilitas yang dimaksud disederhanakan menjadi \ begin {persamaan *} P (X> v), \ end {persamaan *} di mana \ begin {persamaan * } v: = e ^ u> 1. \ end {persamaan *} Ambil sekarang yang mana saja$z\in(0,v)$ dan untuk semua yang nyata $x>0$mari
\ mulai {persamaan *} g (x): = ax-b \ ln x + c, \ end {persamaan *} di mana \ mulai {persamaan *} a: = a (z): = \ frac {1 / v } {h (r)}, \ quad b: = b (z): = az, \ quad c: = c (z): = az \ ln \ frac ze, \ end {persamaan *} \ begin {persamaan * } h (r): = 1-r + r \ ln r, \ quad r: = z / v \ in (0,1). \ end {persamaan *} Perhatikan bahwa fungsinya$h$ menurun $(0,1)$, dengan $h(1-)=0$. Begitu,$h>0$ di $(0,1)$ dan karenanya $a>0$ dan $b>0$. Jadi, fungsinya$g$ cembung $(0,\infty)$. Selain itu, \ begin {persamaan *} g (z) = g '(z) = 0, \ quad g (v) = 1. \ end {persamaan *} Selanjutnya$g(x)\ge1(x>v)$ untuk semua nyata $x>0$dan karenanya, dalam pandangan (-1) dan (0),
\ begin {persamaan *} P (X> v) \ le Eg (X) = a \, EX + c \ le ae ^ \ ep + c. \ tag {1} \ end {persamaan *} Ekspresi terakhir,$ae^\ep+c$, dalam (1) sekarang dapat diminimalkan dalam $z\in(0,v)$, dengan minimizer diekspresikan dalam istilah Lambert $W$ fungsi.

Pilihan suboptimal tapi sederhana $z=1$dalam (1) hasil \ begin {persamaan *} P (\ ln X> E \ ln X + u) = P (X> v) \ le \ frac {e ^ \ ep-1} {v-1- \ ln v} \ end {persamaan *} dan karenanya \ begin {persamaan *} P (\ ln X> E \ ln X + u) \ le B_ \ ep (u): = \ min \ Besar (1, \ frac {e ^ \ ep-1} {e ^ u-1-u} \ Big). \ end {persamaan *} Batas atas sederhana$B_\ep(u)$ memiliki kedua properti yang diinginkan:

(i) untuk setiap riil $u>0$ \ begin {persamaan *} B_ \ ep (u) \ underset {\ ep \ downarrow0} \ longrightarrow0; \ end {persamaan *}

(ii) seragam di semua $\ep\in(0,1)$(katakanlah) \ begin {persamaan *} B_ \ ep (u) = O (e ^ {- u}) \ end {persamaan *} sebagai$u\to\infty$.