Produk memaksa sistem simetris
Diberikan keluarga gagasan memaksa $(P_i)_{i\in I}$ kita bisa mengambil produknya $P:=\prod_{i\in I}P_i$ sebagai gagasan yang memaksa untuk membuat filter generik dari formulir $G=(G_i)_{i\in I}$ sedemikian rupa untuk masing-masing $i\in I$ proyeksi $G_i$ sesuai dengan filter umum yang dibuat saat memaksa dengan $P_i$. Ini disebut pemaksaan produk dan memungkinkan kita untuk menggabungkan beberapa jenis objek umum sekaligus. (Untuk pembahasan yang lebih detail tentang subjek, lihat Produk memaksa dan objek umum )
Sekarang pertanyaan saya adalah jika dan bagaimana pemaksaan produk dapat dikombinasikan dengan pemaksaan simetris. Asumsikan kita memiliki keluarga gagasan pemaksaan seperti di atas dan sekelompok kelompok$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ sebaik $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ seperti yang $\mathcal{G}_i$ adalah subgrup dari $Aut(P_i)$ dan $\mathcal{F}_i$ adalah filter normal aktif $\mathcal{G}_i$ untuk semua $i\in I$. Bisakah kita mendefinisikan$P$ seperti di atas dengan $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ bertindak $P$ componentwise dan $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ sebagai filter normal $\mathcal{G}$ ?
Misalnya pertimbangkan model simetris asli Cohen $ZF+\neg AC$ di mana ia bergabung dengan banyak real generik yang tak terhitung jumlahnya dan kemudian melanjutkan untuk membangun subset yang tak terbatas $A\subset \mathbb{R}$tanpa himpunan bagian tak terbatas yang tak terhitung jumlahnya. Maka konstruksi yang dijelaskan di atas harus memungkinkan kita untuk berdampingan$I$ banyak set tersebut $(A_i)_{i\in I}$ sekaligus.
Adakah komplikasi yang mungkin ditemui seseorang dengan jenis konstruksi ini (yaitu gaya produk simetris)? Apakah ada literatur tentang hal itu?
Jawaban
Ya, ini banyak sekali dalam literatur. Meski sangat sedikit dalam cara "kerangka abstrak". Ini adalah sesuatu yang pada dasarnya dilakukan sejak hari-hari awal pemaksaan, dan Anda dapat menemukan buktinya di makalah-makalah awal.
Dalam pekerjaan saya
Karagila, Asaf , Iterasi simetris ekstensi , J. Symb. Catatan. 84, No. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , Model Morris , Proc. Saya. Matematika. Soc. 148, No. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Anda dapat menemukan perawatan yang lebih umum. Produk adalah kasus tertentu dari sebuah iterasi, dan makalah pertama membahas kasus di mana dukungannya terbatas. Dalam kasus produk, bagaimanapun, kita dapat menghilangkan beberapa kesulitan dalam menggeneralisasi iterasi ke dukungan sewenang-wenang, dan beberapa pekerjaan diselesaikan di makalah kedua.
Selain itu, Anda dapat melihat produk yang didefinisikan "dengan tangan" di banyak tempat, mudah untuk melihat bahwa definisi berlaku untuk semua jenis sistem simetris (tetapi produk biasanya digunakan dengan gaya Cohen forcings). Berikut adalah beberapa contoh terbaru, terutama dari pekerjaan saya yang membahas topik ini cukup sering, dan contoh yang lebih lama.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spektrum keseragaman. , Commentat. Matematika. Univ. Carol. 60, No. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Menyematkan pesanan ke para kardinal dengan (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Matematika. 226, No.2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , lemma Fodor bisa gagal dimana-mana , Acta Math. Hung. 154, No. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , hasil Kemerdekaan tentang himpunan terbatas Dedekind , J. Aust. Matematika. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Kelas yang tepat dari para kardinal yang tiada bandingannya , Colloq. Matematika. 58, No. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Di antara semua ini, Anda akan melihat dukungan terbatas, dapat dihitung (atau $\kappa$-) dukungan, dukungan Easton, dan Anda akan melihat bahwa melompat ke hal lain (yang sekarang hanyalah dukungan campuran jenis lain benar-benar sama).
Faktanya, kami bahkan memiliki lebih banyak kekuatan sekarang karena kami dapat berbicara tentang mengubah dukungan dalam produk filter dan grup. Anda akan berpikir bahwa ini berarti kita dapat mengatakan lebih banyak lagi, tetapi kenyataannya, itu biasanya tidak relevan.
Dalam makalah saya tentang iterasi, saya menggambarkan konsep yang disebut "keuletan". Menjelang akhir Ph.D. dalam salah satu dari banyak diskusi yang saya lakukan dengan Yair Hayut, kami memutuskan untuk mencoba dan mencari tahu apa yang sebenarnya ada di balik konsep itu. Dan ternyata setiap sistem simetris setara dengan yang ulet. Dan itu berarti bahwa bermain dengan dukungan yang berbeda (yaitu dukungan terbatas pada filter saat menggunakan Easton pada pemaksaan) biasanya sama dengan dukungan terkecil apa pun yang Anda gunakan. Tidak selalu selalu, tapi biasanya.
Sedangkan untuk model Cohen, itu agak rumit. Setiap generik adalah nyata, dan kami tidak hanya peduli tentang itu, kami juga peduli tentang himpunan semua obat generik. Jadi ini sebenarnya bukan produk, melainkan iterasi penambahan setiap real, melanggar pilihan dengan tidak menambahkan himpunan semua real, dan kemudian memaksa untuk menambahkan himpunan generik tanpa pengurutannya dengan baik. Semua ini membuat pendekatan yang hanya memikirkannya sebagai satu ekstensi jauh lebih sederhana.