Properti produk titik

Question

Saya ingin membuktikan atau membantah klaim berikut:

Jika kita ambil dua vektor $\mathbf{v}_1$ dan $\mathbf{v}_2$ di $\mathbb{R}^{d}$ ($d$ tidak perlu 2, jadi bukti geometris tidak tersedia) dan sudut di antara keduanya, yang ditentukan oleh $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ memegang berikut ini:

1. Untuk vektor apa pun $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ jika kami menunjukkan $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ dan $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ kita akan mendapatkan $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. Untuk vektor apa pun $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ jika kami menunjukkan $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ dan $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ kita akan mendapatkan $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Saya cukup yakin dengan pernyataan di atas, karena saya menjalankan banyak simulasi numerik dan sepertinya bertahan, yaitu saya yakin klaim tersebut perlu dibuktikan dan tidak bertentangan.

Saya mencoba menggunakan definisi aljabar kosinus dengan beberapa trik aljabar (pertidaksamaan segitiga, dll.) Dan tidak berhasil, sama dengan pertidaksamaan kosinus umum (untuk vektor).

Answer 1

Kedua klaim itu salah. Karena kita bisa mendapatkan satu klaim dari yang lain dengan mengganti$u$ oleh $-u$, itu sudah cukup untuk menyangkal bahwa klaim pertama.

Pilih dua vektor bebas linier $u$ dan $v_1$ seperti yang $v_1^Tu>0$. Membiarkan$v_2=2v_1$. Kemudian$v_2^Tu>0$ tapi $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Untuk contoh konkret, biarkan \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} Kemudian $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ dan karenanya $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Dengan mengganggu $v_2$ sedikit di sepanjang arah yang normal untuk dirinya sendiri, seseorang juga dapat memperoleh contoh berlawanan di mana $v_1$ dan $v_2$ tidak bergantung secara linier.