Representasi matriks dari kelompok ordo nonabelian $p^3$?
Saat Anda melihat kelompok pesanan $p^3$ (untuk aneh $p$) Ada $2$yang nonabelian. Salah satunya adalah kelompok Heisenberg yang dapat dilihat sebagai produk semidirect dari$C_p \times C_p$ dan $C_p$.
Berdasarkan beberapa perhitungan dengan GAP, saya melihat bahwa yang lainnya adalah produk semidirect dari $C_{p^2}$ dengan $C_p$.
Dapatkah grup lain ini dilihat sebagai grup matriks yang sudah dikenal?
gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"
Jawaban
Singkatnya, 'tidak'. Perhatikan itu$\mathrm{GL}_n(q)$ untuk $q$ kekuatan $p$ tidak boleh memiliki elemen keteraturan $p^2$ kecuali kalau $n>p$. Jadi sebagai$p$ tumbuh ukuran kelompok matriks harus tumbuh.
Ini cerita yang serupa di bidang yang tidak berkarakteristik $p$. Apa saja$1$representasi -dimensi grup memiliki pusat di kernel. Representasi yang setia hanya memiliki gelar setidaknya$p$.
Jadi kelompok ini tidak memiliki representasi setia dari derajat yang kurang dari $p$ di atas bidang apapun.
Sunting: Tidak ada representasi matriks di atas bidang apa pun, tetapi ada di atas cincin . Grup ini diberikan oleh$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$
Saya menemukan ini saat melihat catatan Keith Conrad sekarang.