Sebuah pertanyaan dalam jawaban pengguna dalam pertanyaan setiap bijection $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ memiliki banyak diskontinuitas yang tak terhingga

Question

Pertanyaan khusus ini:

Tunjukkan bahwa setiap kebijaksanaan $ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ memiliki banyak titik diskontinuitas yang tak terhingga.

diminta dalam kuis saya.

Tidak dapat menyelesaikannya, saya mencari di MSE. Saya menemukan solusi khusus ini.

Titik diskontinuitas fungsi bijective $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Tapi saya punya pertanyaan untuk solusinya. Tetapi penanya dan penjawab tidak terlihat di situs web untuk waktu yang sangat lama.

Jadi saya mengajukan keraguan saya sebagai pertanyaan terpisah:

Pada baris ketiga jawaban yang diberikan pada link di atas bagaimana penulis menyimpulkannya $f(I_m)$yang dimaksud dengan interval terbuka? Itu artinya$f$memetakan interval terbuka untuk membuka interval? Mengapa?

Adakah yang bisa memberikan jawaban yang tepat?

Answer 1

Jika $f$ kontinu dan suntik pada interval terbuka $(a,b)$ kemudian $f$bersifat monotonik. Seharusnya$f$meningkat. Dengan IVP fungsi berkelanjutan gambar adalah sebuah interval, sebut saja$I$. Misalkan interval ini berisi salah satu titik akhirnya. Mengatakan$I=[t,s)$. Kemudian$t=f(x)$ untuk beberapa $x \in (a,b)$. Pilih salah satu$s$ antara $a$ dan $x$. Kemudian$f(s) <f(x)=t$sebuah kontradiksi. Demikian pula,$I$ tidak boleh berisi titik akhir kanannya.

Answer 2

Interval terbuka adalah himpunan yang terhubung, dan $f$ terus menerus, jadi $f[I_m]$terhubung. Satu-satunya subset yang terhubung dari garis nyata adalah interval (terbuka, setengah terbuka, atau tertutup), sinar (terbuka atau tertutup), dan$\Bbb R$ sendiri, jadi $f[I_m]$. Jika Anda tidak terbiasa dengan pengertian topologi umum tentang keterhubungan, Anda dapat menggunakan teorema nilai tengah untuk menunjukkan bahwa$f[I_m]$harus dari salah satu jenis itu. Poin pentingnya adalah bahwa ini adalah subset cembung dari$\Bbb R$: jika $x$ dan $y$ adalah anggota dari salah satu set ini, dan $x<z<y$, kemudian $z$ juga anggota set itu.

Seperti yang ditunjukkan dalam bukti, $f\upharpoonright I_m$, menjadi kontinyu dan injektif, adalah (secara ketat) monoton, jadi baik menjaga ketertiban atau benar-benar membalikkan pesanan. Sejak$I_m$ adalah interval terbuka atau sinar terbuka, ini artinya $f[I_m]$ juga harus berupa interval terbuka atau sinar terbuka: jika memiliki titik akhir, titik akhir tersebut harus berupa gambar titik akhir $I_m$.