Sebuah pertanyaan tentang aturan rantai untuk turunan parsial
Membiarkan $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ menjadi fungsi yang dapat dibedakan dan mempertimbangkan fungsinya $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Menghitung$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ dan $\frac{\partial F}{\partial z}$ dengan kondisi $f$turunan parsial urutan pertama.
Saya mulai dengan menyadari itu$F=f\circ g$, dimana $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Mari kita tunjukkan dengan$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ dan $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$komponen.
Menurut aturan rantai, saya tahu itu$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ dan hubungan yang sama berlaku $\partial y$ dan $\partial z$, tetapi saya tidak mengerti bagaimana / apakah saya bisa lebih menyederhanakan $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ dan $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Sejauh yang saya mengerti, ini adalah turunan parsial dari$f$ sehubungan dengan fungsinya $u$ dan $v$. Bagaimana cara menghitungnya?
Jawaban
Untuk memperjelas, tunjukkan $u$ dan $v$ variabel untuk $f$, dimana $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$
Aturan rantai menegaskan hal itu \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} dan demikian pula untuk turunan parsial lainnya.
Jika Anda menggunakan aturan rantai untuk turunan dari $multivariate$ fungsi, Anda dapat membaca $partial$turunan. Lebih tepatnya, mengikuti ide Anda, kami punya
$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$
Dalam bentuk matriks,
$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$
Sekarang multilpy matriks untuk membaca turunannya.