Sedikit sekali $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$ segitiga dapatkah segitiga sama sisi dibagi?
Ini adalah pertanyaan paralel untuk posting lain ini dengan banyak jawaban sudah , dalam arti bahwa$(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$segitiga -similar membentuk satu-satunya sudut rasional non-trivial ubin segitiga sama sisi (dan segi enam beraturan), modulo konjugasi nyata dari bidang koordinat (subbidang $\mathbf{Q}(\zeta_{60})$) yang mentransformasikan di antara $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$segitiga -similar dan $(6^\circ,60^\circ,114^\circ)$segitiga -similar. (Referensi: M.Laczkovich's Tilings of triangles .)
Upaya saya adalah sebagai berikut:
Sejak $\sin(42^\circ)$ dan $\sin(78^\circ)$ memiliki radikal bersarang, saya mencoba menyingkirkannya dengan membatasi unit ubin dasar saya hanya pada $60^\circ$-angled trapesium sama kaki dan jajaran genjang yang merupakan satu baris dari ubin segitiga. Mereka memiliki rasio basis-ke-kaki yang lebih pendek$$m\cdot\frac{9-3\sqrt{5}}{2}+n\cdot\frac{11-3\sqrt{5}}{2}\quad\left(m,n\ge 0\right)$$yang secara otomatis merupakan bilangan bulat aljabar. Setiap potensi ubin dari segitiga sama sisi dari unit segiempat ini sesuai dengan beberapa hubungan polinomial bilangan bulat dari aljabar di atas, yang derajat polinomialnya berkorelasi dengan jumlah potongan segiempat dalam ubin.
Sayangnya semua aljabar di atas memiliki norma yang besar, jadi pencarian buta untuk polinomial yang diinginkan tidak mungkin dilakukan, dan saya harus mengurangi proporsi potongan lagi ke rasio. Saya dapat menemukan file$60^\circ$trapesium segitiga sama kaki dengan rasio alas kaki lebih pendek $10$ menggunakan $79$ ubin, dan a $60^\circ$jajaran genjang miring dengan rasio sisi-sisi yang bertetangga $11$ menggunakan $80$ubin. Jadi beberapa ubin lagi menghasilkan a$60^\circ$belah ketupat kusut, dan beberapa ubin lagi menghasilkan a $60^\circ$trapesium segitiga sama kaki dengan rasio alas kaki yang lebih pendek $1$, tiga di antaranya menyusun segitiga sama sisi, menggunakan total $121\,170$ubin segitiga. Sementara saya melakukannya, saya menemukan posting yang kurang terkait ini yang mungkin mengurangi jumlah ubin saya menjadi sedikit di bawah seratus ribu.
Sementara itu, saya juga melakukan pencarian komputer dengan cepat melalui beberapa konfigurasi sederhana secara konseptual yang mencoba untuk menyusun segitiga sama sisi menggunakan kurang dari sekitar. $50$ ubin, dan saya tidak menemukan apa pun.
Saya merasa bahwa sekitar seratus ribu ubin bukanlah jumlah yang optimal untuk ubin seperti itu, jadi saya bertanya untuk melihat apakah orang memiliki ide yang lebih baik. Saya tidak dapat memberikan insentif uang tunai seperti yang dilakukan pos paralel, tetapi siapa pun yang mencoba teka-teki ini pasti akan berterima kasih.
Edit yang disarankan oleh RavenclawPrefect:
Untuk mendapatkan satuan ubin segiempat yang saya gunakan, hal pertama adalah menghilangkan akar seperti yang saya sebutkan di atas. Sebagai$\mathbf{Q}(\zeta_{60})$ adalah Galois berakhir $\mathbf{Q}(\sqrt{3})$ (bidang dasar di sini seharusnya tidak $\mathbf{Q}$ tetapi sebagai gantinya bidang koordinat segitiga sama sisi), jika kita dapat membangun secara geometris berapa pun panjangnya $\ell$ (atau secara teknis, rasio $\ell$), sehingga ketika kita melakukan konstruksi geometris yang sama tetapi dengan semua $42^\circ$ sudut dan $78^\circ$ sudut bertukar satu sama lain, kami masih terbukti membangun yang sama $\ell$, maka harus dipegang itu $\ell\in\mathbf{Q}(\sqrt{5})$, maka $\ell$ tidak mengandung radikal bertingkat.
Ada beberapa ide tentang apa $\ell$seharusnya secara khusus, kebanyakan dari mereka ide-ide paralel yang semuanya dapat ditemukan dalam pertanyaan paralel untuk persegi. Saya menetap di atas$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$-quadrilaterals (yang merupakan satu baris ubin segitiga) karena memiliki norma pembilang terkecil di antara yang lain. Sebagai non-contoh, ada ide bertingkat yang menggunakan$9$ ubin yang menghasilkan trapesium dengan rasio kelipatan rasional $889-321\sqrt{5}$, yuck. Ada juga beberapa hal yang tidak sepele di mana segitiga harus diorientasikan saat diletakkan menjadi satu baris, tetapi beberapa perhitungan lagi menunjukkan bahwa hal di atas$(m,n)$bentuk adalah semua yang kami dapatkan. Lebih tepatnya, trapesium juga tidak bisa$m=0$, dan jajaran genjang juga tidak bisa $n=0$.
Setelah semua pekerjaan itu, sisanya benar-benar masalah coba-coba. Di antara semua$(m,n)$ bentuk, saya memilih jajaran genjang dengan norma terkecil, yang merupakan $(m,n)=(0,1)$ jajaran genjang dengan $4$ ubin, dan memutarnya sehingga menjadi a $\frac{11+3\sqrt{5}}{38}$-genjang. Kemudian$19$ dari mereka membuat $\frac{11+3\sqrt{5}}{2}$-parallelogram dengan $76$ ubin, dan jelas saya menggabungkannya menjadi $(1,0)$-trapesium dan a $(0,1)$-parallelogram untuk sampai ke segiempat rasional.
Jadi prosesnya lebih seperti "Terus terang saya tidak tahu harus berbuat apa lagi" daripada "Saya melihat potensi penyederhanaan tetapi saya tidak tahu yang optimum". Itu juga mengapa saya mencari ide yang sama sekali baru (lihat di atas) yang tidak ditemukan dalam pertanyaan paralel tentang kotak.
RavenclawPrefect juga mengajukan pertanyaan dengan motivasi baik jika ubin yang sama dapat dilakukan tetapi dengan ubin yang kongruen. M. Laczkovich membuktikan bahwa ini tidak mungkin dalam makalah berikutnya Tilings of Convex Polygons with Congruent Triangles .
Jawaban
Saya memposting jawaban baru untuk pertanyaan ini, karena teknik yang saya gunakan berbeda secara substansial dari jawaban sebelumnya dan sudah cukup lama. (Banyak dari jawaban ini ditulis sebelum jawaban Anders yang luar biasa, jadi jawaban itu menapak kembali beberapa dasar di sana.)
Untuk memulainya, saya ingin menyempurnakan konstruksi yang diuraikan dalam OP, karena saya merasa melihat diagram ini berguna. Tentukan jajaran genjang rasio$r$ sebagai satu dengan sisi $1,r,1,r$ dalam urutan siklik, dan trapesium rasio $r$ sebagai satu dengan sisi $1,r,1,r+1$dalam urutan siklik. (Saya secara implisit berasumsi bahwa semuanya memiliki$60^\circ$ dan $120^\circ$ sudut dan bahwa semua trapesium sama kaki kecuali dinyatakan lain.)
Ini adalah rasio trapesium sama kaki $\frac{9-3\sqrt{5}}2$ terbuat dari tiga $\color{blue}{42}-\color{green}{60}-\color{red}{78}$ segitiga:
Berikut adalah jajar genjang dari sebuah rasio $1$ lebih besar (jadi dengan alas yang sama) terbuat dari empat segitiga seperti:
(Perhatikan bahwa itu tidak diberikan dengan menambahkan segitiga ke konstruksi sebelumnya! Namun, tiga titik terbawah berada di lokasi yang sama.)
Seperti yang diamati oleh Edward H, kita sebenarnya dapat memperpanjang salah satu dari dua jajaran genjang di atas dengan memasukkan non-$60$jajaran genjang -degree di antara tepi di mana hanya sudut merah dan biru bertemu; ini memungkinkan kita menghabiskan$2$ lebih banyak segitiga untuk membuat trapesium dan jajaran genjang rasio $\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$ lebih.
Sekarang, beberapa pengamatan:
Jajaran genjang rasio $r$ juga merupakan rasio genjang $1/r$: putar saja di sisinya!
Diberikan dua jajaran genjang rasio $r,s$, kita bisa menggabungkannya untuk mendapatkan rasio genjang $r+s$.
Diberi rasio trapesium $r$ dan jajaran genjang rasio $s$, kita dapat menggabungkannya untuk mendapatkan rasio trapesium $r+s$.
Diberikan dua rasio trapesium $r,s$, kita bisa membalikkan salah satunya dan menggabungkannya untuk mendapatkan rasio jajaran genjang $r+s+1$ (karena sisi atas satu unit lebih pendek dari sisi bawah).
Diberikan dua rasio trapesium $r,s$, kita bisa meletakkan satu di atas yang lain untuk mendapatkan rasio jajaran genjang $rs/(r+s+1)$.
Ini memberi kita jalan yang jelas ke depan: mulailah dengan dua solusi trapesium dasar dan jajaran genjang (ditambah ekstensi mereka), lalu gabungkan mereka dengan cara di atas untuk mencari kemiringan kecil dari trapesium rasio rasional dan jajaran genjang sampai kita menemukan satu set yang kita bisa dengan baik isi segitiga sama sisi dengan.
Saya menulis beberapa kode untuk melakukan perhitungan yang tepat dengan elemen $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, dan mulai menyimpan semua trapesium dan jajaran genjang yang bisa dibuat hingga sekitar $70$segitiga, tetapi membatasi ukuran bilangan rasional yang terlibat untuk mencegah ruang pencarian menjadi terlalu di luar kendali. (Jika saya memiliki rasio genjang$1173/292-46\sqrt{5}/377$, Saya mungkin tidak akan membutuhkannya.)
Ini saja tidak menghasilkan banyak bentuk rasio rasional, jadi saya menjalankan skrip kedua yang memeriksa di antara semua bentuk yang dihasilkan pada iterasi sebelumnya untuk mereka yang bagian irasionalnya adalah negatif satu sama lain, dan menggabungkannya menjadi baru, bentuk rasio rasional.
Hasil pencarian ini mencakup banyak konstruksi yang menarik, termasuk solusi segitiga 72 Anders Kaseorg untuk rasio jajar genjang, tetapi untuk tujuan kita, kita dapat fokus pada dua di antaranya: a $94$trapesium ubin rasio $12/5$, dan a $100$trapesium ubin rasio $17/7$.
Jika diletakkan di atas satu sama lain, bagian bawah trapesium pertama bertepatan dengan bagian atas trapesium kedua, membentuk trapesium yang terbuat dari $194$ segitiga yang alas dasarnya dua kali alas atasnya - persis seperti tujuan kita.
Sekadar memamerkan konstruksi lengkapnya, ini dia semua $3\cdot(94+100)=\textbf{582}$ segitiga utuh:
Dari OP, saya menggunakan fakta yang bisa kita gunakan $79$ segitiga untuk menyusun trapesium dengan panjang sisinya $11,1,10,1$ dan sudut $60$ dan $120$ derajat, serta jajaran genjang dengan panjang sisi $1$ dan $11$ dengan $80$segitiga. Ini berarti bahwa kita dapat menyusun sebuah "berlian" (gabungan dari dua segitiga sama sisi yang terhubung ke tepi) menggunakan$11\cdot80=880$ segitiga.
Kami kemudian dapat memasukkan semua bagian ini ke dalam kisi segitiga: trapesium mengambil $21$ segitiga, jajaran genjang kurus $22$, dan wilayah berbentuk berlian saja $2$(tapi dengan harga yang mahal). Tentu saja, salah satu dari mereka dapat ditingkatkan oleh beberapa faktor bilangan bulat dan masih berada di grid.
Menggunakan beberapa kode yang saya tulis untuk memecahkan masalah ubin ditambah beberapa modifikasi manual, saya telah menemukan kemasan trapesium sama kaki berikut dengan rasio alas-ke-kaki $1$ (dalam hal ini, ditingkatkan pada kisi segitiga dengan faktor $12$ di setiap dimensi):
Itu menggunakan $12$ trapesium dan $19$berlian (yang terakhir dengan berbagai ukuran). Jadi, ubin segitiga sama sisi dengan tiga salinan bentuk ini akan digunakan$3\cdot(12\cdot79+19\cdot880)=\textbf{53004}$ ubin.
Edit oleh nickgard :
Ubin yang lebih kecil dari trapesium yang sama menggunakan$10$ trapesium panjang dan $12$ berlian.
$3\cdot(10\cdot79+12\cdot880)=\textbf{34050}$ ubin.
(Akhir pengeditan)
EDIT (RavenclawPrefect): Saya telah menemukan beberapa cara yang lebih baik untuk menyusun jajaran genjang, yang dapat digunakan bersama dengan solusi nickgard untuk mengurangi jumlahnya lebih jauh.
Berikut adalah ubin dari a $1\times 2$ jajaran genjang dengan tujuh $1\times 11$ jajaran genjang (kontras dengan $22$ itu akan dibutuhkan dengan menggabungkan dua belah ketupat bersama):
Secara umum, seseorang dapat memasang ubin $1\times n$ jajaran genjang untuk $n=1,\ldots,9$ dengan $11,7,6,6,6,6,6,6,7$jajaran genjang kurus; nilai-nilai ini muncul dari pengambilan sebuah ubin$11\times n$persegi panjang demi persegi (lihat A219158 di OEIS) dan menerapkan transformasi affine yang sesuai.
Untuk $1\times 7$, menggunakan $6$ jajaran genjang kurus memberi kita $6\cdot 80$, tapi kita juga bisa menggunakan $6$ trapesium seperti yang dijelaskan dalam komentar Edward H atas jawaban ini untuk $6\cdot 79$ ubin, yang menawarkan sedikit peningkatan.
Dengan menggunakan pengemasan yang lebih efisien ini, saya dapat mengisi bentuk "tangga" dalam jawaban nickgard sebagai berikut:
Ini menggunakan total $4874$ ubin di tangga, $4874+10\cdot79 = 5664$ di trapesium, dan $\textbf{16992}$ di segitiga.
Sunting 2 (RavenclawPrefect): Setelah banyak mengutak-atik penguraian bentuk "tangga" menjadi jajaran genjang yang selaras dengan sumbu, saya menyadari bahwa saya bisa menerapkan transformasi affine, mengubah seluruh tangga menjadi ukuran polyomino yang sangat tinggi${10\choose 2}\cdot 11=495$ dengan ketinggian "langkah" $11$, dan coba petak benda yang dihasilkan dengan kotak secara langsung.
Ini menghasilkan peningkatan yang substansial, memberi ubin $46$ kotak (karenanya, $1\times 11$jajaran genjang sekali ditransformasikan kembali); gambar yang dihasilkan tidak akan tersemat dengan baik karena tingginya, tetapi saya telah mengunggahnya ke imgur di sini . Pembaruan: Saya telah sedikit meningkatkan ubin ini menjadi$45$solusi -square, lihat di sini .
Ini menghasilkan $3\cdot(45\cdot80+10\cdot79)=\textbf{13170}$ ubin.
Cara ini dapat ditingkatkan:
Mencoba untuk mengemas ini dengan lebih baik $495$-omino per kotak - pencarian saya tidak lengkap, dan saya pikir setidaknya ada a $30\%$ kemungkinan itu bisa dipasang lebih efisien.
Menemukan pengemasan yang lebih baik dari beberapa trapesium atau segitiga sama sisi dengan metode yang sama ini - Saya pasti belum mengoptimalkan banyak hal sebanyak yang saya bisa.
Menemukan pengemasan "dasar" yang lebih efisien dari salah satu bentuk benih yang digunakan dalam pengubinan ini, atau menghasilkan poliamond baru yang relatif sederhana yang dapat dipasang dengan ubin secara efisien $42-60-78$ segitiga.
Berikut rasio trapesium $1$ ubin oleh $195$segitiga, ditemukan dalam pencarian brute force. Menggunakan tiga hal ini untuk membuat segitiga sama sisi$3 \cdot 195 = \mathbf{585}$ segitiga.
Jawaban lama
Dasar ini $60^\circ$ trapesium rasio $\frac{9 - 3\sqrt 5}{2}$ menggunakan tiga segitiga, dan dasar ini $60^\circ$ jajaran genjang rasio $\frac{11 - 3\sqrt 5}{2}$ menggunakan empat segitiga:
Nomor berapa saja $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$ dapat diuraikan sebagai $r = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}u + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}v$ dengan $u, v \in \mathbb Q$. Jika$u, v \ge 0$, lalu kita dapat menyusun jajaran genjang rasio $r$ menggunakan jajaran genjang dasar dengan menggabungkan transformasi affine dari kemiringan persegi panjang rasio $u$ dan $v$menggunakan kotak. Misalnya, berikut adalah rasio jajaran genjang segitiga 72$1 = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1}{11} + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}\cdot\frac{19}{11}$, berasal dari ubin persegi $1 × 11$ dan $19 × 11$ persegi panjang.
Menggunakan ide ini dalam versi konstruksi "tangga" menghasilkan kemiringan rasio trapesium yang jauh lebih efisien $1$. Ini satu dengan$45 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 44 \cdot 4 = 386$segitiga. (Saya sekarang menggunakan algoritme pemrograman dinamis yang menggabungkan wilayah hijau dan wilayah biru masing-masing dalam satu lintasan daripada mengirisnya menjadi jajaran genjang. Untuk kejelasan, pembagian trapesium dasar / jajaran genjang menjadi tiga / empat segitiga tidak digambarkan.)
Menggunakan tiga hal ini untuk membuat segitiga sama sisi $3 \cdot 386 = \mathbf{1158}$ segitiga.
Mungkin ubin yang lebih efisien dapat dibangun dengan memotong sejumlah kecil trapesium dasar dari segitiga sama sisi kurang lebih secara sewenang-wenang sampai satu jajaran genjang tetap, menyelesaikan rasionya $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$, dan menerapkan konstruksi ubin persegi panjang di atas satu kali. Menemukan cara untuk melakukan ini sedemikian rupa$u, v \ge 0$ ternyata lebih rumit dari yang saya harapkan.