Selesaikan sistem pertidaksamaan linier dengan parameter

Aug 20 2020

Selesaikan sistem pertidaksamaan \ begin {cases} 0 \ leq \ phantom {-2 \;} x + 2 \, y-3 \, b + 3 \, a \ leq 2 \\ 0 \ leq -2 \, x -3 \, y + 6 \, b \ phantom {\; + 3a \; \,} \ leq 1 \\ [4pt] 0 \ leq x \ leq 1 \\ 0 \ leq y \ leq 2 \\ [4pt ] 0 \ leq a \ leq 1 \\ 0 \ leq b \ leq 1 \ tag {*} \ end {cases} Di sini$x,y$ adalah variabel yang tidak diketahui dan $a,b$ adalah parameter.

Upaya saya. Dengan menambahkan pertidaksamaan dengan beberapa koefisien, saya memisahkan variabel dan mendapatkan sistem sederhana \ begin {cases} 0 \ leq y + 6a \ leq 5, \\ 0 \ leq -x + 9a + 3b \ leq 8. \\ \ tag {**} \ end {kasus} dan saya bisa menyelesaikannya. Tetapi solusi dari sistem terakhir bukanlah solusi dari sistem awal!

Maple dan wolframAlpha tidak bisa menyelesaikan sistem.

Ada bantuan?

PS1 Untuk $a=\frac{63}{100}$ dan $b=\frac{59}{100}$ (seperti pada gambar G Cab di bawah) Maple memberikan solusinya \ mulai {berkumpul *} \ kiri \ {x = 1, {\ frac {9} {50}} \ leq y, y \ leq {\ frac {11} {25}} \ kanan \}, \ kiri \ { x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {9} {50}} <y, y <{\ frac {11} {25}} \ right \}, \ kiri \ {{\ frac {9} {50}} <y, x <1, y <{\ frac {11} {25}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100} } <x \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {11} {25}}, {\ frac {61} {100}} \ leq x, x <1 \ right \}, \ left \ {x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {11} {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \} , \ kiri \ {{\ frac {11} {25}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {127} {150}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100}} <x \ right \}, \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {11 } {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \}, \ left \ {x = 0, {\ frac {127} {150}} \ leq y, y \ leq {\ frac {47} {50}} \ kanan \}, \ kiri \ {y = {\ frac {127} {150}}, x \ leq {\ frac {14} {75}}, 0 <x \ kanan \}, \ kiri \ {0 <x, {\ frac {127} {150}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {47 } {50}} \ kanan \}, \\ \ kiri \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {127} {150}} <y, y <{ \ frac {47} {50}} \ kanan \} \ end {berkumpul *}

PPS Saya tertarik untuk tidak menemukan seluruh rangkaian solusi tetapi dalam menemukan setidaknya satu solusi dari area tersebut, jika ada, tetapi dalam istilah $a$ dan $b$, sebagai contoh, $x=(a+b)/2, y=(2a-b)/10$ adalah solusi.

Jawaban

2 YuriNegometyanov Aug 27 2020 at 00:27

Mari kita perhatikan sistem dalam bentuk \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \\ x, y \ in [ 0,1] \ tag1 \ end {cases} atas himpunan pasangan yang mungkin$(a,b)\in[0,1]^2.$

$$\color{blue}{\mathbf{Case\ 1.\quad a-b >\dfrac23.}}$$

Sistem $(1)$ tidak ada solusi.

$$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.\quad 0\le a \le \min\left[\frac{2+3b}3,1\right].}}\tag2$$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.1.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

Persamaan pertama sistem berupa \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.1} \ end {cases } di atas kuadran pertama mendefinisikan segitiga dengan simpul$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

Persamaan kedua di atas kuadran pertama mendefinisikan trapesium dengan simpul

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2),\quad(0, \frac{3b-3a}2).$

Sejak

$\ 0 \le 3b-3a\le 3b \le 2+3b-3a,$
$\ 0 \le \frac{3b-3a}2 \le 2b \le \frac{2+3b-3a}2,$

maka solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut $(3b-3a, 0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.1}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac1{10},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.2.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$

Persamaan pertama sistem berupa \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.2} \ end {cases} over kuadran pertama mendefinisikan segitiga dengan simpul$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

Persamaan kedua di atas kuadran pertama mendefinisikan segitiga dengan titik puncak

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

Sejak

persamaan $2b = \frac{2+3b-3a}2$ terjadi jika $a=\frac{2-b}3,$
persamaan $3b = 2+3b-3a$ terjadi jika $a=\frac{2}3,$

maka kasus selanjutnya harus dipertimbangkan.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.1.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

Solusinya adalah segitiga dengan simpul $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.2.1}$$

Solusi untuk $\quad a\in\bigg[\dfrac1{8},\dfrac58\bigg],\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.2.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23\bigg].}}$$

Garis $2x+3y=6b$ dan $x+2y = 2+3b-3a$ memiliki persimpangan di titik tersebut $(x_i,y_i) = (9a+3b-6, 4-6a).$

Solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (9a+3b-6, 4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg).\tag{4.2.2}$$

Solusi untuk $\quad a = \dfrac{9}{14},\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.3.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$$

Solusinya adalah segitiga dengan simpul $\quad (0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg).\tag{4.2.3}$$

Solusi untuk $\quad a = \dfrac{17}{24},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.3.\quad b\in \bigg[\dfrac16,\dfrac13\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

Persamaan sistem pertama berupa \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.3} \ end {cases} pada kuadran pertama mendefinisikan trapesium dengan simpul$\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

Persamaan kedua di atas kuadran pertama mendefinisikan trapesium dengan simpul

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac12(2+3b-3a)),\quad (0, \frac12(3b-3a)).$

Sejak

persamaan $\frac{6b-1}3 = \frac{3b-3a}2$ terjadi jika $a=\frac{2-3b}9,$
persamaan $\frac{6b-1}2 = 3b-3a$ terjadi jika $a=\frac16,$

maka kasus selanjutnya harus dipertimbangkan.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-3b}9\bigg].}}$$

Solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.1}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac1{12},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-3b}9,\dfrac16\bigg].}}$$

Garis $2x+3y=6b-1$ dan $x+2y = 3b-3a$ memiliki persimpangan di titik tersebut $(x_i,y_i) = (9a+3b-2,1-6a).$

Solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{6b-1}3),\quad (9a+3b-2,1-6a).$

Secara analitis, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3, \frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg)}.\tag{4.3.2}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac3{19},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac16,b\bigg].}}$$

Solusinya adalah trapesium dengan simpul

$(3b,0),\quad (3b-3a, 0),\quad (0, \frac{3b-3a}2),\quad (0,2b).$

Secara analitis, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.3}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac15,\quad b=\dfrac14.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[b,b+\dfrac23\bigg].}}$

Persamaan pertama sistem berupa \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.4} \ end {cases }

di kuadran pertama mendefinisikan trapesium dengan simpul $\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

Persamaan kedua di atas kuadran pertama mendefinisikan segitiga dengan titik puncak

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

Sejak

persamaan $2b = \frac{2+3b-3a}2$ terjadi jika $a=\frac{2-b}3,$
equlaity $3b = 2+3b-3a$ terjadi jika $a = \frac23,$
keseimbangan $\frac{6b-1}3 = \frac{2+3b-3a}2$ terjadi jika $a=\frac{8-3b}9,$
keseimbangan $\frac{6b-1}2 = 2+3b-3a$ terjadi jika $a=\frac56,$

maka kasus selanjutnya harus dipertimbangkan.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

Solusinya adalah trapesium dari paragraf $2.3.3$ atas.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23 \bigg].}}$$

Garis $2x+3y=6b$ dan $x+2y = 2+3b-3a$ memiliki persimpangan di titik tersebut $(x_i,y_i) = (9a+3b-6,4-6a).$

Solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (3b, 0),\quad (9a+3b-6,4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

Secara analitis, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.2}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac58,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{8-3b}9 \bigg].}}$$

Solusinya adalah simpleks dengan simpul tersebut

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

Secara analitis, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.3}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac34,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{8-3b}9,\dfrac56 \bigg].}}$$

Garis $2x+3y=6b-1$ dan $x+2y = 2+3b-3a$ memiliki persimpangan di titik tersebut $(x_i,y_i) = (9a+3b-8,5-6a).$

Solusinya adalah segitiga dengan simpul

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (9a+3b-8,5-6a).$

Secara analitis, $${\small (x\in[9a+3b-8,2+3b-3a])\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.4}$$

Solusi untuk $\quad a=\dfrac{14}{17},\quad b=\dfrac14.$

4 GCab Aug 22 2020 at 06:02

Ketika Anda memiliki sistem (ganda) ketidaksetaraan seperti ini $$ \left\{ \matrix{ a \le x \le b \hfill \cr c \le x \le d \hfill \cr} \right. $$ Anda mungkin berpikir bahwa masing-masing mewakili segmen di $x$ sumbu, dengan sistem singkatan dari AND, yaitu $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ x \in \left[ {a,b} \right] \hfill \cr x \in \left[ {c,d} \right] \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad x \in \left( {\left[ {a,b} \right] \cap \left[ {c,d} \right]} \right)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad x \in \left[ {\max (a,c),\min \left( {b,d} \right)} \right] \cr} $$

Oleh karena itu dalam kasus Anda, kami dapat melakukan beberapa manipulasi sebagai berikut $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le x + 2y + 3a - 3b \le 2 \hfill \cr 0 \le - 2x - 3y + 6b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3\left( {b - a} \right) \le x + 2y \le 3\left( {b - a} \right) + 2 \hfill \cr 6b - 1 \le 2x + 3y \le 6b \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 3\left( {b - a} \right) \le x \le 3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y \hfill \cr 3b - 1/2 - 3/2y \le x \le 6b - 3/2y \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr m = \max \left( {3\left( {b - a} \right),3b - 1/2 - 3/2y,0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y,\;6b - 3/2y,\;1} \right) \hfill \cr m \le x \le n \hfill \cr} \right. \cr} $$

di mana pada langkah ketiga kami memilih untuk mengisolasi $x$, tapi tentu saja kami bisa melakukannya dengan $y$ dalam hal ini memperoleh $$ \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( {3/2\left( {b - a} \right) - x/2 2b - 1/3 - 2/3x 0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3/2\left( {b - a} \right) + 1 - x/2 \;2b - 2/3x \;2} \right) \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

Jadi, setelah diperbaiki $a, \; b, \; y$ dalam kisaran yang diizinkan, kita dapat menyelesaikan penghitungan $x$ dalam kasus pertama, atau sebaliknya dalam versi kedua.

Sketsa sistem di Geogebra memberi

catatan sebagai balasan atas komentar Anda

Seperti yang Anda lihat dari sketsa, solusi (jika ada) secara umum akan menentukan area 2D.
Mengacu pada kasus yang digambarkan, setelah diperbaiki$a$ dan $b$, Anda dapat mendeskripsikan area tersebut dengan memiliki $y$ untuk menjangkau rentang yang diizinkan $[0,2]$ dan akibatnya menentukan $x$berada dalam dua batas, tergantung dari$y$.
Tidak ada kemungkinan untuk mengungkapkan batasannya$x$ dan $y$ independen satu sama lain.

contoh dengan $a=0.63 ,\; b=0.59$

$$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 0.63 \\ b = 0.59 \\ 0 \le y \le 2 \\ m = \max \left( { - 0.12,1.27 - 3/2y,0} \right) \\ n = \min \left( {1.88 - 2y,\;3.54 - 3/2y,\;1} \right) \\ m \le x \le n \\ \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le y \le 2 \\ \begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y\; \to \;\emptyset } \hfill & {\left| {\;0.94 \le y \le 2} \right.} \hfill \\ \end{array} \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0.18 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} $$

Versi kedua malah memberikan hasil yang lebih sederhana $$ \left\{ \matrix{ a = 0.63 \hfill \cr b = 0.59 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( { - 0.06 - x/2,1.18 - 1/3 - 2/3x,0} \right) = \hfill \cr = 1.18 - 1/3 - 2/3x \hfill \cr n = \min \left( {0.94 - x/2,\;1.18 - 2/3x,\;2} \right) = \hfill \cr = 0.94 - x/2 \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

tambahan

Saya tidak menangkap dengan benar kebutuhan Anda, tetapi bagaimanapun saya akan memperkenalkan pendekatan yang lebih geometris untuk masalah yang mungkin menawarkan pandangan berbeda tentang solusi.

Setiap pertidaksamaan ganda mewakili garis yang terdiri antara dua garis sejajar dengan pemisahan konstan. Kedua garis saling tumpang tindih untuk menentukan jajaran genjang, yang baru saja diterjemahkan sambil mempertahankan bentuknya tidak berubah.

Koordinat dari empat simpul adalah $$ \begin{array}{c|cccc} {} & & {Vsi} & {Vss} & {Vii} & {Vis} \\ \hline x & & {9a + 3b - 8} & {9a + 3b - 6} & {9a + 3b - 2} & {9a + 3b} \\ y & & { - 6a + 5} & { - 6a + 4} & { - 6a + 1} & { - 6a} \\ \end{array} $$ Sekarang, sampai x $Vsi$ lebih besar dari $1$ seluruh jajaran genjang $P$ akan keluar dari persegi panjang $R = [0,1] \times [0,2]$.
Sama jika y$Vsi$di bawah nol. Jadi, untuk memiliki solusi, itu harus$$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 9a + 3b - 8 \le 1 \hfill \cr 0 \le - 6a + 5 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr a \le 5/6 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 1/2\; \wedge \;0 \le a \le 5/6 \hfill \cr 1/2 < b \le 2\; \wedge \;0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr} \right. \cr} $$Perhatikan bahwa hal di atas adalah kondisi yang diperlukan namun belum cukup. Itu karena ketika simpul atas berada di kuadran kedua kita masih harus memaksakannya$P$ berpotongan $R$, yang serumit menggunakan kondisi min / maks sebelumnya.