Semua bentuk simetris bilinear nondegenerasi pada ruang vektor kompleks bersifat isomorfik

Aug 16 2020

Semua bentuk simetris bilinear nondegenerasi pada ruang vektor kompleks bersifat isomorfik. Apakah ini berarti bahwa dengan mempertimbangkan bentuk-bentuk simetris bilinear nondegenerasi pada ruang vektor kompleks, Anda dapat memilih basis untuk ruang vektor sedemikian sehingga representasi matriks dari bentuk bilinear tersebut adalah matriks identitas? Adakah yang bisa membantu menjelaskan kepada saya mengapa ini terjadi?

Saya berpikir bahwa matriks dengan entri masuk $\mathbb{C}$akan memiliki persamaan karakteristik yang terbagi menjadi faktor-faktor linier (dengan kelipatan) dan akan dapat didiagonalisasi, tetapi masih belum bisa menyatukannya. Wawasan dihargai!

Jawaban

3 BenGrossmann Aug 16 2020 at 19:31

Jawabannya iya.

Pertama, bukti bahwa bentuk bilinear isomorfik. Perhatikan bahwa itu sudah cukup untuk membuktikan bahwa ini berlaku$\Bbb C^n$.

Pertama, saya mengklaim bahwa setiap matriks simetris yang dapat dibalik, kompleks, dapat ditulis dalam bentuk $A = M^TM$ untuk beberapa matriks yang kompleks $M$. Ini bisa dilihat, misalnya, sebagai konsekuensi dari faktorisasi Takagi .

Sekarang, ayo $Q$ menunjukkan bentuk bilinear simetris atas $\Bbb C^n$, dan biarkan $A$ menunjukkan matriksnya dalam arti bahwa $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Membiarkan$Q_0$ menunjukkan bentuk bilinear kanonik yang didefinisikan oleh $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Kami menulis$A = M^TM$ untuk beberapa matriks kompleks yang dapat dibalik $M$.

Menetapkan $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ oleh $\phi(x) = Mx$. Sangat mudah untuk memverifikasi itu$\phi$ adalah isomormfisme ruang hasil kali bilinear, sehingga kedua ruang tersebut memang isomorfik.

Dengan semua yang mapan: kita bisa melihat perubahan basis $y = Mx$ seperti itu $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.