Soal aljabar precalculus tentang bilangan rasional dan irasional.

Question

Membiarkan $ a, b $menjadi bilangan irasional. Kami tahu itu$ a + b $, $ a^3 + b^3 $ dan $ a^2 + b $ rasional.

Saya telah membuktikannya $ ab $, $ a + b^2 $juga rasional. Saya mencoba mencari beberapa contoh:$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $, $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $, $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $, bahkan fungsi trigonometri.

Answer 1

Mengambil $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ dimana $r\in\mathbb Q$, $r>0$ dan $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.