solusi umum untuk integral hingga bentuk $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?

Question

Baru-baru ini saya bekerja dengan bidang dimensi yang lebih tinggi dan saya menemukan nilai integral ini: $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$

Meskipun dalam perjalanan saya bekerja mundur. Saya menjadikan ini integral dari hubungan yang sudah berhasil saya bangun. Saya bertanya-tanya apakah mungkin untuk menemukan nilai integral ini menggunakan metode integrasi apa pun, seperti jika Anda baru saja diberikan integral ini, apakah Anda dapat menemukan nilainya. Saya mencoba beberapa kalkulator integral online, tetapi tidak memberikan hasil apa pun. Saya mencoba melakukannya sendiri dan tidak menemukan apa pun, namun integrasi bukanlah bidang saya.

Answer 1

Saya bertanya-tanya apakah mungkin untuk menemukan nilai integral ini

Jika Anda Mencari jawaban, saya memilikinya, (Dari Mathematica)

Ekspresi bersyarat Hanya Dimaksudkan bahwa ada kondisi ekstra yang terlibat dan yang telah disebutkan.

Answer 2

Pendekatan paling sederhana akan menggunakan integrasi berdasarkan bagian , yang juga digunakan untuk menurunkan Produk Wallis untuk integral serupa.

Membiarkan $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$ dan $u=(a-x^2)^b$, kemudian $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.

$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$

Answer 3

Substitusi $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ menghasilkan integral $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$Ini sebanding dengan integral beta , yang nilainya$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ Kapan $b \in \mathbb Z^+$, ini diekspresikan dalam faktorial sebagai $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$

Answer 4

Jika Anda menikmati fungsi hipergeometrik, dengan asumsi $a>0$ dan $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ Jika $t=\sqrt a$, ini mengarah pada hasil yang sudah diberikan dalam jawaban.