Solusi untuk $615+2^x=y^2$ pada bilangan bulat
Masalah ini sangat mirip dengan yang populer, tetapi saya menemukannya dengan cara ini. Saya pikir itu bisa diselesaikan dengan cara yang sama. Artinya itu$x$ harus bilangan genap, dan kemudian dipegang $$615=y^2-2^{2k}=(y-2^k)(y+2^k)$$
kemungkinan pasangan faktor $615$ adalah $\{(615,1), (123, 5), (3,205),(15,41)\}$. Maka cara masalah ini biasanya diselesaikan adalah dengan menjumlahkan 2 faktor dan mencari nilai untuk$2^k$. Namun kali ini saya mencoba untuk menyimpulkan faktor-faktor tersebut sehingga saya dapat menemukan nilai yang mungkin$2^k$, tetapi ini berarti kita hanya memiliki 4 kemungkinan untuk nilai $2^k$: $\{614, 118, 2020, 26\}$. Yang tidak ada nilai untuk$2^k$ dengan $k\in\Bbb{Z}$. Apakah ini berarti tidak ada solusi integer untuk persamaan ini? atau mungkin ada yang salah dengan alasan saya.
Terima kasih sebelumnya!
EDIT: Saya tidak berasumsi bahwa $x$bahkan, saya harus menguraikan itu. Jika$y^2$ adalah bilangan bulat, maka digit pada tempat satuan harus salah satu dari berikut ini: $\{1, 4, 5, 6, 9\}$. Pangkat 2 hanya dapat memiliki angka berikut di tempat satuan:$\{2, 4, 6, 8\}$. Jika$x$ adalah angka ganjil $2^x$ memiliki salah satu $2$ atau sebuah $8$ sebagai tempat unitnya, ini pada gilirannya berarti itu $y^2=615+2^x$ memiliki baik $7$ atau $3$di tempat unit, yang merupakan kontradiksi. Karena itulah$x$ harus bilangan genap.
Jawaban
Seharusnya $x \geq 2$. Kurangi kedua sisi mod 4 untuk mendapatkannya$3 \equiv y^2$, kontradiksi sejak itu $0$ dan $1$ adalah satu-satunya kotak mod 4.
Maka satu-satunya pilihan yang mungkin adalah $x = 0$ dan $x = 1$. Tapi tidak keduanya$615 + 2^0$ maupun $615 + 2^1$adalah kotak yang sempurna. Jadi tidak ada solusi.
Petunjuk :$615\not\equiv1$ mod $8$, jadi kita harus punya $x\lt3$.
Ya, itu buktinya $615+ 2^{x=2k} = y^2$ tidak memiliki solusi integer jika $x$ genap.
Jika $x$aneh kita bisa mencoba.
$615 + 2^{x=2k+1} = y^2$
$2^{2k+1} = y^2 - 615$ begitu $y$ ganjil biarkan $y=2m+1$
$2^{2k+1} = 4m^2 + 4m -614$
$2^{2k} = 2m^2 +2m - 307$ yang berarti $2^{2k}$ sangat aneh $2^{2k} =1$ dan $k =0$
$2m^2 +2m = 308$
$m(m+1) = 154$
Tapi $154 = 2*7*11$ tidak bisa jadi faktor.
Begitu $615+2^x =y^2$ tidak memiliki solusi integer jika $x$ aneh juga.
Tapi itu sangat tidak efisien dan saya tidak menyarankannya.
(Namun ini bisa memberi kita petunjuk untuk mempertimbangkan aritmatika $\mod 4$ dan jawaban Doctor Who akhirnya tepat pada tempatnya.)