Solusi untuk latihan fungsiologi pembangkit 1a.

Aug 16 2020

Pertanyaannya adalah:

  1. Temukan fungsi pembangkit deret pangkat biasa dari masing-masing urutan berikut, dalam bentuk sederhana dan tertutup. Dalam setiap kasus, urutannya ditentukan untuk semua$n\geq0$. (Sebuah)$a_n=n$

Inilah fungsinya $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, yang saya tulis ulang sebagai: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Masing-masing suku adalah deret geometris, jadi saya menulis ini sebagai

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Oleh karena itu, jawaban saya adalah $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Namun, kunci jawaban di bagian belakang buku mengatakan bahwa jawabannya adalah "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Meskipun fungsi pembangkit saya terlihat seperti RHS dari kunci jawaban, saya tidak mengerti apa artinya LHS. Apakah ada sesuatu yang saya lewatkan di sini?

Jawaban

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

Itu $LHS$hanyalah cara lain untuk mendapatkan fungsi pembangkit yang sama dengan yang Anda temukan. Dikatakan: ambil turunan dari$1/(1-x)$ lalu kalikan dengan $x$.