$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ dan $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

Mari kita periksa seri tersebut $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ dan $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

---

Upaya saya:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ dan $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Karena kedua istilah itu positif, setidaknya salah satu deret harus berbeda.
Bagaimana cara membuktikan bahwa kedua deret itu berbeda?

Seperti yang diberikan dalam petunjuk, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

PETUNJUK:

Kedua seri itu berbeda. Untuk menunjukkan ini, gunakan identitas

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

bersama dengan fakta itu $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ berkumpul untuk $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, sebagaimana dijamin oleh https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test#Statement.