Temukan CDF $Y=X+|X-a|$ dimana $X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$

Question

Diberikan $X\sim\text{unif}[0,b]$, Saya perlu menemukan probabilitas berikut:

$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$

Untuk semua $y\in\mathbb{R}$, dimana $Y=X+|X-a|$ dan $b>a>0$ diberi konstanta positif.

Upaya Saya : Jelas itu$Y\in[a,2b-a]$, oleh karena itu $F(y)=0$ untuk semua $y<a$ dan $F(y)=1$ untuk semua $y\geq2b-a$. Sekarang kita hanya perlu menghitung$F(y)$ untuk $y\in[a,2b-a)$:

$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$

Saya pikir itu $[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$, oleh karena itu:

$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$

Saya menggunakan fakta itu $(y+a)/2<b$ sejak saya berasumsi $y<2b-a$. Sekarang, inilah masalah saya - saya tidak tahu bagaimana cara mengatasinya$P_2$. Dugaan saya adalah itu$P_2=1$ selama $y\geq a$ (dan ini sama persis dengan asumsi saya itu $y\in[a,2b-a)$), tetapi dalam kasus itu:

$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$

Ini tidak masuk akal bagiku. Berikut ini contoh alasannya: Jika perhitungan saya benar, maka$F(a)=(b-a)/b$, tapi sebenarnya:

$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$

($\mathbb{P}(Y<a)=0$ sejak $Y\geq a)$

Terima kasih!

Answer 1

Anda memiliki beberapa kasus yang terbalik. Jika$X < a$, kemudian $|X - a| = a - X$, karenanya $Y = a$Untuk kasus ini. Catatan

$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$

Karena itu, $$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$ Lalu sejak $$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$ dan $$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$ kami dapatkan $$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$ yang setelah mengoreksi batas-batas yang terbatas $X$, memberi $$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$