Temukan fungsi $f$ seperti yang $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ ada, tapi $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$tidak. [duplikat]

Question

Konteks:

Saya sedang mempelajari beberapa Analisis dan saat ini sedang mengerjakan latihan dalam buku Kalkulus M. Spivak, khususnya bab 5 tentang batasan. Semuanya baik-baik saja sampai saya menemukan pertanyaan ini. Saya telah memikirkannya untuk beberapa waktu tanpa hasil.

Pertanyaan: Berikan contoh dimana$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ ada, tapi $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ tidak."

Upaya saya:

Pertanyaan sebelumnya menunjukkan itu $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, yang menurut saya berfungsi karena kita dapat menemukan akar ketiga dari bilangan real apa pun (yang berguna dalam pembuktian epsilon - delta untuk itu). Yang membuat saya percaya hal di atas gagal karena kita tidak bisa mengkuadratkan real negatif akar. Hal ini membuat saya bermain-main dengan fungsi yang melibatkan$\sqrt{x}$ dan memanfaatkan 'ketidaktentuannya' pada hal-hal negatif.

Saya mulai dengan $f(x)=\sqrt{x-1}$ yang jelas memiliki batas yang tidak ditentukan di $0$. Tetapi ini tentu saja tidak berbeda (mengingat batas di$0$ yang ke $f(x^2)$.

Ada petunjuk? Saya merasa seolah-olah saya mengabaikan sesuatu yang sangat sederhana.

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

Saya mendapatkan contoh lain, meskipun setelah melihat tanggapan Hagon von Eitzen.

Kita bisa memilih $f(x)=\text{floor}(x)$.