Temukan jumlah deret: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
Saya punya masalah dengan teori seri. Pertanyaan spesifiknya adalah sebagai berikut: \ begin {persamaan} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {persamaan} Ide saya seperti ini :
Sejak $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} Namun, jawabannya adalah cosh $x$. Ide utama didasarkan pada rangkaian pangkat$e^x$ dan $e^{–x}$. Kemudian tambahkan bersama. Tapi saya masih tidak mengerti apa yang saya lakukan salah.
Adakah yang bisa membantu saya, tolong. Terima kasih.
Jawaban
Apa yang Anda lakukan salah berubah $(2n)!$ untuk $2^nn!$.
Anda benar itu $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,
begitu $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.
$\dfrac{1+(-1)^n}2$ adalah $0$ kapan $n$ aneh dan $1$ kapan $n$ adalah genap, jadi ini menjadi $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$