Temukan rata-rata angkanya $n \sin n^\circ$ untuk $n=2,4,6\cdots,180$ [duplikat]

Question

Saya telah diminta dalam ujian untuk menemukan rata-rata angkanya: $$n \sin n^\circ$$ untuk $n$=$2,4,6,\cdots,180$

Saya telah mencoba banyak pada dasarnya dengan produk penjumlahan, atau memasangkan input ... tetapi pada akhirnya tidak dapat menemukan cara untuk menyelesaikannya, dapatkah seseorang membantu saya dengan pendekatan tersebut?

Answer 1

Sejak $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, dan $\sin{180^\circ} = 0$, kita dapat menulis jumlahnya sebagai $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$

Untuk mendapatkan rata-rata, bagi dengan jumlah suku, $90$, dan dapatkan $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$

Sekarang, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. Karena itu,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$

Saat Anda pasang $\text{(**)}$ ke $\text{(*)}$, sebagian besar $\cos$ persyaratan dibatalkan dan Anda ditinggalkan $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} Sekarang terapkan jumlah sinus rumus AP dan selesai!