Temukan sudut antara dua garis singgung yang ditarik dari titik $(0, -2)$ ke kurva $y=x^2$

Aug 16 2020

Temukan sudut antara dua garis singgung yang ditarik dari titik $(0, -2)$ ke kurva $y=x^2$.

Ini adalah usaha saya:
Biarkan$P(\alpha, \beta)$ menjadi titik di kurva. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Persamaan garis singgung di P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ harus memenuhi persamaan ini. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Sekarang masukkan nilai-nilai ini untuk menemukan kemiringan$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Kami tahu itu untuk $\theta$= sudut antara garis dan $m_1\quad\&\quad m_2$ menjadi kemiringan garis: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

Jawaban saya tidak sesuai dengan buku. Buku itu sangat dihargai, jadi tidak mungkin salah. Saya tidak dapat menemukan kesalahan dalam solusi saya. Buku itu menyatakan jawabannya sebagai$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Sunting: Buku itu sebenarnya menyatakan jawabannya sebagai$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Saya adalah orang buta yang tidak bisa melihat 2 .

Jawaban

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 21:33

Saya pikir ada dua kesalahan dalam buku Anda.

Pertama, $\theta$ harus menjadi sudut lancip karena kita mengatakan tentang sudut antara garis singgung dan bukan tentang segmen garis singgung, tetapi $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Juga, jawabanmu $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ benar dan genap $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Setelah Anda memperbaiki, kami perlu membuktikannya $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ yang benar karena $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

1 WolfgangKais Aug 16 2020 at 22:49

Seperti yang telah Anda turunkan, file $x$-Nilai dari dua titik pada kurva adalah $-\sqrt2$ dan $\sqrt2$ (dengan masing-masing $y$-Nilai dari $2$).

Mari kita lihat "garis singgung kanan" $\big($di $(+\sqrt2,2)$$\ besar) $ . Karena kemiringan garis singgung adalah $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , sudut antara sumbu $ x $ dan garis singgung ini adalah $ \ arctan \ sqrt8 $ . Oleh karena itu, sudut antara garis singgung dan sumbu $ y $ adalah $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Akhirnya, penggandaan sudut ini adalah sudut antara dua garis singgung, yang sebenarnya adalah $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .