Temukan sudut yang hilang dalam segitiga
Pada segitiga di bawah ini, kita mencari nilai sudut $φ$.
Kami diberikan $α=30, β=18, γ=24$ dan juga itu $CD=BD$.
Saya telah menyelesaikannya dengan trigonometri (hukum sinus) dan menemukan sudut yang diperlukan menjadi 78 tetapi saya harus menyelesaikannya hanya dengan Geometri.
Apa yang telah saya coba sejauh ini:
Pertama-tama, sudutnya dapat dibangun, yang berarti bagi saya pasti ada solusi geometris. Saya pertama kali menggambar segitiga ABC; mudah, karena kita tahu 2 sudutnya. Kami tidak tertarik dengan panjang sisinya. Kemudian, dengan sisi AC sebagai alasnya, dan sudut 24 derajat, kita dapat menggambar sinar dari titik A.
Lalu, sejak $CD=BD$, segitiga DCB sama kaki, oleh karena itu D harus terletak pada garis berat CB, yang bisa kita gambar. Titik perpotongan sinar dari A dan garis berat tegak lurus adalah titik D.
Dari segitiga FEB kita punya itu
sudut AFD = 108.
Dari segitiga AFD,
$ADC+CDE+54+108=180$ begitu $ADC+CDE=18$
Kami juga punya $24+ACD+ADC=180$
$ACB=132$
$132+φ+ACD=180$
$18+φ+54+ADC+2CDE=180$
Saya selalu satu persamaan pendek.
Ada ide?
Terima kasih banyak atas antisipasi!
EDIT:
Hukum sinus dalam segitiga ABD:
$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$
Hukum sinus dalam segitiga ACD:
$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$
begitu
$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$
karenanya $φ=78$.
Jawaban
Pertimbangkan yang biasa $30$-gon $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ dan letakkan di pesawat agar $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$, dan itu $X_2$ dan $C$ berbaring di halfplanes berbeda yang ditentukan oleh garis $AB$. Menunjukkan$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$, dan $X_{15}=R$.
Bangun segi lima biasa $KLOPQ$seperti di gambar. Kami akan membuktikannya$P\equiv C$.
Catat itu $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. Sejak$QK=KL=AK$, maka segitiga tersebut $AKQ$sama sisi. Secara khusus,$AQ=KQ=QP$, jadi $Q$ adalah penyunat $AKP$. Pengejaran sudut menghasilkan$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$, jadi dengan segitiga SAS $AQP$ kongruen dengan $KLM$, $MNB$, dan dengan simetri itu kongruen dengan $MOP$. Melanjutkan pengejaran sudut,$\angle PAQ = 6^\circ$, dan akhirnya $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.
Di sisi lain, dengan kongruensi $KLM$, $MNB$ dan $MOP$, kita punya $MK=MP=MB$, jadi $M$ adalah penyunat $KPB$ dan oleh karena itu $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$, karenanya $\angle PBM = 36^\circ$ dan $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.
Sejak $\angle BAP = 30^\circ$ dan $\angle PBA = 18^\circ$, kami punya itu $P\equiv C$.
Kami akan membuktikannya sekarang $R\equiv D$. Pertama-tama, kami punya$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. Kedua, sejak$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$, kami punya itu $K$, $C$, $R$adalah collinear. Sejak$M$ adalah penyunat $CKB$, kita punya $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. Kami juga punya$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. Sejak$\angle BCR = \angle RBC$, itu mengikuti itu $R$ terletak pada garis berat tegak lurus dari $CB$, yang bersama dengan $\angle CAR = 24^\circ$ maksudnya $R\equiv D$. Berikut jawabannya:$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$
Sejak $\angle DAB=54^o$, jika kita membangun segi lima beraturan $AD$, kemudian $AB$ membagi dua $\angle DAG=108^o$, dan $AB$ diperpanjang hingga $K$ di sirkit melewati tengah $N$.
Memperpanjang $AC$ untuk $I$, $DB$ untuk $L$, dan bergabunglah $IK$, $KL$, $LA$, $IL$, dan $DG$.
Sejak siklik segiempat $AIKL$ memiliki sudut siku-siku di $I$, itu adalah persegi panjang. Karena itu$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$, dan$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$Dan sejak di segi lima biasa $\angle ADG=36^o$, dan sebagai catatan OP $\angle ADE=18^o$, kemudian $\angle LDG=\angle ADC$.
