Temukan turunan atas dan turunan bawah $\overline{D}\mu$ dan $\underline{D}\mu$.
Berikut adalah latihan dari Cohn's Measure Theory yang menurut saya tidak saya lakukan dengan benar:
Membiarkan $I$ menjadi segmen garis masuk $\mathbb{R}^2$ yang menghubungkan poin $(0,0)$ dan $(1,1)$. Tentukan ukuran Borel yang terbatas$\mu$ di $\mathbb{R}^2$ dengan membiarkan $\mu(A)$ menjadi ukuran Lebesgue satu dimensi $A \cap I$. (Lebih tepatnya, biarkan$T$ menjadi peta interval $[0, \sqrt{2}]$ ke $I$ diberikan oleh $T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$, dan definisikan $\mu$ oleh $\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$ Temukan turunan atas dan turunan bawah $\overline{D}\mu$ dan $\underline{D}\mu$.
Baiklah, mari kita tuliskan definisi ini terlebih dahulu: $$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$ dan $$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$ dimana $\mathscr{C}$ adalah keluarga kotak tertutup non-degenerasi $\mathbb{R}^2$ (dengan sisi sejajar dengan sumbu koordinat) dan $e(C)$ adalah panjang tepi $C \in \mathscr{C}$ (dan saya berasumsi bahwa, di sini, $\lambda$ adalah ukuran Lebesgue $\mathbb{R}^2$, meskipun penggunaan notasi yang sama untuk pengukuran Lebesgue pada $\mathbb{R}$).
Jelas, jika $x \notin I$ kemudian $(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$.
Jika $x \in I$ kemudian, untuk masing-masing $C \in \mathscr{C}$ seperti yang $x \in C$, kami punya itu $$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$ Jadi, untuk tetap $x \in I$ dan untuk masing-masing $\epsilon >0$, kami akan menentukan set $E_\epsilon$ sebagai berikut: $$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$ Sejak $e(C) < \epsilon$, untuk setiap $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$, itu mengikuti itu $$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$ untuk setiap $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; dan sejak$e(C)$ dapat dibuat kecil sewenang-wenang, mengikuti itu $$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$ Jadi, fungsinya $f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$ jelas cenderung $\infty$ sebagai $\epsilon \to 0$. Jadi (saya kira?)$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$ jika $x \in I$ dan $(\overline{D}\mu)(x) = 0$ jika $x \notin I$... yang sepertinya tidak benar.
Begitu pula dengan fungsinya $g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$ dibatasi dari bawah oleh $1/\epsilon$, dan $1/\epsilon$ meningkat tanpa terikat sebagai $\epsilon \to 0$. Jadi,$g(\epsilon) \to \infty$ sebagai $\epsilon \to 0$, demikian juga. Begitu$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$. Sekali lagi, ini sepertinya tidak benar ...
Jawaban
Saya pikir pendekatan Anda benar. Inilah cara saya melakukan ini. Saya akan melewatkan beberapa langkah untuk beberapa detail.
Pertama, saya memperluas definisi:
$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
Demikian pula,
$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
Kasus 1: Jika $(x,y)\notin I$, kita bisa memilih $r>0$ cukup kecil seperti itu $\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$. Alasannya karena$I$ ditutup, jadi pelengkapnya terbuka $\mathbb{R}^2$. Jadi cukup kecil$r>0$, $$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$ yang menyiratkan $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$.
Kasus 2: Jika $(x,y)\in I$, kemudian $x=y$. Asumsikan bahwa$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$. Cukup kecil$r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ adalah bagian dari ruas garis $I$, panjangnya $2r$. Karena itu,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$ yang menyiratkan $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$.
Kasus 3: Kapan $(x,x)=(0,0)$ atau $(1,1)$, untuk ukuran yang cukup kecil $r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ adalah bagian dari ruas garis $I$, panjangnya $r$. Karena itu,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$
Hasilnya adalah: $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$ jika $(x,y)\notin I$ dan $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$ jika $(x,y)\in I$.