Temukan versi yang lebih kuat dari $9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0$

Question

Untuk $a,b,c \geqslant 0.$ Kemudian $$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0.$$ Saya menggunakan komputer dan menemukan bahwa ketidaksetaraan yang lebih kuat berikut ini berlaku untuk semua real $a,b,c.$

$$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant \frac{81}{4} \sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

Dan juga: $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant {\frac {27}{4}}\, \left( a+b+c \right) ^{2} \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

Ketimpangan lainnya$?$

Answer 1

Ada versi yang lebih kuat berikut ini.

Membiarkan $a$, $b$ dan $c$jadilah non-negatif. Buktikan bahwa:$$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3}\geq$$ $$\geq4(3\sqrt3-4)(a^3+b^3+c^3-3abc)abc.$$

Kesetaraan terjadi untuk $a=b=c$ dan untuk $(a,b,c)=t(6+4\sqrt3,1,1)$, dimana $t\geq0$ dan untuk setiap permutasi siklik dari yang terakhir.

Bahkan jika kami akan mengganti $4(3\sqrt3-4)$ di $4$, BW tidak membantu di sini!

Omong-omong, ketidaksetaraan ini bisa kita buktikan $uvw$ segera:

itu setara dengan $f(v^2)\geq0,$ dimana $f$ meningkat.

Memang, biarkan $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ dan $abc=w^3$.

Oleh karena itu, perlu dibuktikan bahwa: $$729u^2v^4+108w^6-31\cdot27u^3w^3\geq4(3\sqrt3-4)(27u^3-27uv^2)w^3$$ atau $f(v^2)\geq0,$ dimana $$f(v^2)=27u^2v^4+4w^6-31u^3w^3-4(3\sqrt3-4)(u^3-uv^2)w^3.$$ Tapi $$f'(v^2)=54u^2v^2+4(3\sqrt3-4)uw^3\geq0,$$ yang mengatakan itu $f$ meningkat dan itu cukup untuk membuktikan ketidaksetaraan kami untuk nilai minimal $v^2$, yang oleh $uvw$ terjadi untuk kasus persamaan dua variabel.

Karena ketidaksetaraan kita homogen dan untuk $w^3=0$ sudah jelas, itu cukup untuk diasumsikan $b=c=1$, yang memberikan: $$9(a+2)^2(2a+1)^2+108a^2-31(a+2)^3a\geq4(3\sqrt3-4)(a^3-3a+2)a$$ atau $$(a-1)^2(a-6-4\sqrt3)^2\geq0$$ dan kita selesai.

Tampaknya ketidaksetaraan ini benar untuk semua kenyataan $a$, $b$ dan $c$,

tapi itu masalah lain (alasan sebelumnya tidak membantu karena $v^2$ bisa negatif).