Tentang hubungan antara homologi dan homotopi
Pada semester terakhir saya belajar aljabar homologi dan teori kategori yang lebih tinggi / teori homotopi.
Tetapi saya agak bingung ketika saya mencoba untuk benar-benar memahami hubungan antara kedua subjek (ini sebenarnya bukan zona nyaman saya ...)
Oleh karena itu saya mencoba menulis (semacam latihan sendiri) teks tentang aljabar homologis dan teori homotopi tetapi benar-benar memperkenalkan dari $0$ dua mata pelajaran.
Saya ingin memperkenalkan konsep-konsep berikut dalam aljabar homologis:
- kompleks rantai
1$\frac{1}{2}$. Kelompok Grothendieck
homotopi kompleks
kategori turunan
struktur-t
Dan saya juga ingin memperkenalkan konsep-konsep berikut dalam teori homotopi:
Kategori model
Kategori homotopi dari kategori model
Penurunan dalam pengaturan kategori model
Kategori semu
4.5. objek sederhana dalam kategori dan homotopi dalam konteks ini
- Kesetaraan Dold-Kan
Sekarang bagian "sulit" dimulai:
Bagaimana mengatur konsep-konsep ini dengan baik? Untuk 1-3 (baik dalam homologi / homotopi) saya rasa saya tahu bagaimana melakukan itu tetapi untuk 3-5 terutama dalam homotopi saya tidak tahu ...
Ini menimbulkan pertanyaan saya:
- Bagaimana memotivasi kategori tak terhingga, atau lebih umum teori homotopi / teori kategori yang lebih tinggi tetapi dari sudut pandang homologis. Saya membaca di suatu tempat mungkin ide yang bagus:
Untuk kategori abelian $\mathcal{A}$, kategori turunan $\mathcal{D(A)}$ tidak ditentukan oleh properti universal.
Saya pernah membaca bahwa dalam beberapa hal, teori kategori yang lebih tinggi menyelesaikan masalah. Oke tapi kenapa? Dan, apakah kita memerlukan kategori semu, atau apakah kategori model cukup untuk melakukan itu?
- Jika seseorang memiliki ide untuk mengatur teks ini, saya terbuka untuk saran apa pun.
Saya akan berterima kasih jika seseorang dapat memberi saya beberapa petunjuk untuk melakukan latihan mandiri ini.
Jawaban
Saya akan mendorong OP untuk membaca tulisan orang lain tentang topik ini, sebelum mencoba menulis sesuatu dari awal. Saya menghadiri kuliah di OSU di mana Aaron Mazel-Gee memotivasi$\infty$-kategori sangat banyak seperti yang disarankan OP di Pertanyaan 1. Tampaknya beberapa ide dari kuliah tersebut sekarang telah muncul di sini .
Adapun untuk Pertanyaan 2, buku Weibel Pengantar Aljabar Homologis melakukan pekerjaan yang bagus dengan koleksi topik pertama, kemudian buku Hovey (atau Dwyer-Spalinski ) memberikan tiga item pertama dalam koleksi kedua, dan buku Lurie memberikan semua yang Anda inginkan. tentang quasicategories dan hubungannya dengan kategori model dan aljabar homologis (serius, pengantar yang dia tulis untuk setiap bab sangat fenomenal). Mengenai korespondensi Dold-Kan, meskipun saya yakin itu muncul di suatu tempat dalam tulisan Lurie, eksposisi paling jelas yang pernah saya baca adalah oleh Akhil Mathew.
Saya setuju dengan Arthur bahwa, jika Anda berpikiran lebih kategoris, Anda dapat membalik urutannya (misalnya, dimulai dengan Lurie, jika Anda sudah tahu tentang rangkaian sederhana). Untuk diri saya sendiri, saya lebih suka memulai dengan sesuatu yang konkret dan kemudian membangun abstraksi di atasnya, sedikit demi sedikit, seperti yang disarankan oleh urutan ini. Buku Weibel benar-benar ditulis sedemikian rupa untuk memudahkan langkah dari sana ke dalam kategori triangulasi, kategori model, dan kategori semu. Tapi itu dimulai di tempat yang sangat mudah diakses oleh aljabar.
Saya akan menjawab pertanyaan kedua Anda terlebih dahulu. Sampai tingkat tertentu, urutan yang Anda pilih akan sangat bergantung pada apakah Anda ingin memimpin dengan contoh atau dengan abstraksi penuh. Sebagai contoh, Anda dapat memperkenalkan resolusi proyektif dan kategori turunan hanya dengan menggunakan fakta tentang$\text{Ch}(\mathcal{A})$ dan kalkulus pecahan Ore (lihat buku Weibel untuk perlakuan seperti ini) atau Anda dapat memperkenalkan kategori model, membuktikan propertinya, membuktikan bahwa $\text{Ch}(\mathcal{A})$mengakui struktur model proyektif menggunakan argumen objek kecil (lihat halaman nLab ini untuk garis besar argumen), dan dengan demikian sampai pada deskripsi kategori turunan sebagai kategori homotopi.
Secara pribadi saya pikir akun kedua akan berbelit-belit dan akan lebih masuk akal untuk memperkenalkan beberapa aljabar homologis terlebih dahulu, paling tidak karena dengan cara itu Anda dapat memperkenalkan struktur model proyektif sebagai contoh struktur model, resolusi proyektif sebagai contoh dari a resolusi kofibran, kategori turunan sebagai contoh kategori homotopi dan sebagainya; Konsep-konsep ini bisa jadi sulit untuk mendapatkan intuisi tanpa beberapa contoh! Tetapi kedua pemesanan tersedia untuk Anda.
Pada pertanyaan kategori model dan quasicategories: kategori model dapat dilihat sebagai "presentasi" untuk quasicategories (lihat halaman nLab untuk perspektif ini, dan Lampiran A.2 dan A.3 dari Teori Topos Tinggi Lurie untuk pengembangan teori kategori model dengan tujuan eksplisit ini). Kategori kuasik memiliki beberapa keunggulan dibandingkan kategori model: misalnya, ada kategori kuasikategori dari beberapa kategori fungsi ke kategori model lainnya, sedangkan pernyataan analogi tidak berlaku untuk kategori model. Struktur model sangat terlibat dalam banyak bukti dasar terkait kategori kuasikategori, jadi tidak ada dua cara untuk mengurutkan topik ini.
Pada pertanyaan pertama Anda: secara pribadi saya tidak percaya aljabar homologis merupakan motivasi yang cukup untuk memperkenalkan kategori model atau kategori tak terhingga. Seperti yang dimunculkan di komentar, kategori triangulasi$\mathcal{D}(\mathcal{A})$tidak mengizinkan kerucut fungsi dan ini mengganggu dalam beberapa aplikasi, tetapi kebanyakan orang terbiasa menerapkan aljabar homologis selama beberapa dekade sebelum orang mulai membicarakan tentang dg- dan quasicategories. Urutan yang lebih kuat untuk teks Anda, menurut pendapat saya, adalah memperkenalkan konsep dasar dari aljabar homologis, kemudian menggunakan ini sebagai contoh ketika Anda mulai berbicara tentang kategori model dan akhirnya kategori kuasik.
Tentang pertanyaan tentang properti universal untuk $\mathcal{D}(\mathcal{A})$menggunakan kategori tak terhingga, Anda mungkin menemukan bagian 1.3.3 dari Aljabar Tinggi Lurie bermanfaat. Perhatikan, bagaimanapun, itu$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ tentu saja memiliki sifat universal dalam bahasa 1-kategorikal biasa: itu adalah lokalisasi $\text{Ch}(\mathcal{A})$ di kuasi-isomorfisme.