Tentukan apakah $f(x)=x^2$ terus menerus secara seragam di domain tertentu.
Tentukan apakah fungsi berikut ini terus menerus secara seragam dalam domain yang diberikan.
$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$
Saya mencoba:
Untuk domain $[0,\infty]$. Membiarkan$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$
Kemudian $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$
Tapi, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$
Kemudian $f(x)=x²$ tidak terus menerus secara seragam di domain $[0,\infty]$
Untuk domain $[0,1]$. Membiarkan$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$
Kemudian $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$
Tapi, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$
Kemudian $f(x)=x²$ tidak terus menerus secara seragam di domain $[0,1]$
Saya tidak yakin apakah metode saya benar. Ada saran yang bagus!
Jawaban
Cara lain untuk melihat bahwa fungsinya terus menerus secara seragam $[0,1]$ tanpa menggunakan teorema Heine adalah untuk membuktikan bahwa definisi kesinambungan seragam terpenuhi.
Memang, biarkan $\varepsilon > 0$. Membiarkan$\eta = \varepsilon/2$. Untuk semua$x,y \in [0,1]$ seperti yang $|x-y|<\eta$, kamu punya $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$
Jadi definisinya terpenuhi.
Metode Anda untuk domain tersebut $[0,\infty)$benar, dan hasil Anda juga benar. Tapi untuk domain$[0,1]$, itu tidak berhasil, karena pilihan Anda $x_n,y_n$tidak ada di domain. Sebaliknya, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi kontinu pada domain kompak kontinu secara seragam.
Ini pasti terus menerus seragam $[0,1]$. Secara umum, fungsi kontinu akan selalu kontinu secara seragam pada satu set kompak (seperti yang ditunjukkan @Bungo di komentar).
Untuk menjawab pertanyaan di komentar:
Misalnya, untuk apa saja $\varepsilon$, jika kita ambil saja $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, kita punya $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$
PS @ Jawaban TheSilverDoe jauh lebih bersih, jadi saya akan memeriksanya :)