Torsion dan Bending stress dihitung dari defleksi
Saya butuh bantuan untuk memeriksa perhitungan yang saya lakukan. Saya ingin tahu apakah mungkin menggunakan metode ini atau apakah saya menggunakan asumsi yang salah. Izinkan saya menjelaskan masalahnya, balok dengan panjang$l$diikat di satu ujung. Sebuah kekuatan$F$ sebentar $M_v$diaplikasikan di ujung balok, lihat gambar di bawah. Balok memiliki penampang melingkar. Karena gaya, ujung balok akan berubah bentuk menjadi panjang$\delta$. Hanya defleksi yang diketahui dan parameter geometrisnya, seperti panjang dan diameter.
Dengan menggunakan teori balok Euler-Bernoulli , defleksi dapat dinyatakan sebagai:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
Dimana $E$ adalah Modulus Young dari material dan $I$ inersia, yaitu $I=\frac{\pi d^4}{64}$untuk bagian scross melingkar. Sini$d$ adalah diameter balok.
Memasukkan inersia dalam (1) dan menyusunnya kembali sebagai ekspresi dari $F$ memberikan:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
Ini dapat disisipkan dalam rumus umum untuk tegangan tekuk maksimum pada penampang melintang
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
Di sini tahanan lentur untuk penampang lingkaran telah dimasukkan ke dalam rumus dan momen lentur telah diganti untuk momen maksimum yaitu $Fl$.
Ini adalah bagian yang saya tidak begitu yakin, saya menggunakan gaya dari (2) dan memasukkannya ke (3) untuk mendapatkan tegangan maksimum. Beri tahu saya jika ini memungkinkan atau jika saya membuat kesalahan.
Selanjutnya dapat dihitung tegangan gesernya $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ dimana $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, Yang merupakan ketahanan torsi dalam material. Saya kemudian melanjutkan untuk menggunakan kriteria hasil von Mises untuk mendapatkan perkiraan tegangan maksimum dalam material.
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Seperti yang saya tanyakan sebelumnya, saya terutama tertarik jika ini adalah cara yang mungkin untuk melanjutkan pemecahan masalah ini atau jika saya menggunakan beberapa metode / asumsi yang salah.
Jawaban
Secara umum apa yang Anda lakukan baik-baik saja. Dengan asumsi Anda memiliki defleksi yang cukup kecil (baik melalui tekukan atau torsi), Anda dapat menyelesaikan masalah secara mandiri. Yaitu:
- Hitung Gaya yang diperlukan untuk mendapatkan tekukan persis seperti yang Anda lakukan. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- Hitung besarnya tegangan geser.
Peringatan
Namun, sejak saat itu ada beberapa peringatan. Mengenai:
a) lentur : besarnya tegangan normal maksimum yang Anda hitung berada di bagian atas dan bawah balok. Setiap titik pada sumbu netral harus memiliki besaran nol.
b) geser torsi : Besarnya jarak$\frac d 2$konstan tetapi arahnya berubah. lihat gambar berikut:
besar tegangan torsi maksimum dengan benar:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) Shear : Meskipun biasanya dibuang, ada juga tegangan geser yang terkait dengan$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. Biasanya, itu sangat kecil, tetapi juga memiliki arah yang konstan (dalam kesempatan ini ke bawah).
Poin yang perlu Anda ambil adalah Anda perlu menambahkan sebagai vektor $\tau_s$ dan $\tau_t$. Oleh karena itu, pada titik yang berbeda dalam materi Anda akan memiliki nilai yang berbeda. Mengingat gambar 1 dan mengambil titik A, B, C, D berlawanan arah jarum jam, tegangan geser yang dihasilkan akan menjadi:
- di titik paling kanan (Titik A (+ x, y = 0) adalah $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- di titik paling atas (Titik B (x = 0, + y) adalah $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- di titik paling kiri (Titik C (-x, y = 0) adalah $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- di titik paling bawah (Titik D (x = 0, + y) adalah $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
Stres maksimal
Jadi, hal utama adalah tentang persamaan Von Mises Anda. Nilai mana yang Anda pasang$\sigma$ dan $\tau$.
Anda harus melalui setiap poin dan menerapkan tekanan yang sesuai:
- Titik A, gunakan $\sigma_{A} = 0$ dan $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- Titik B (dan D), gunakan $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ dan $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- Titik C, gunakan $\sigma_{A} = 0$ dan $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
Sayangnya, ini bukan satu-satunya poin yang perlu Anda periksa. Misalnya, Anda harus memeriksa setidaknya$\pm 135$ derajat (dalam kuadratur di gambar $\tau_s $ dan $\tau_t$jangan saling membatalkan). Tapi itulah idenya.