Tunjukkan bahwa keluarga ini sama di $0$
Membiarkan $E$ menjadi ruang vektor bernorma, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ untuk kompak $K\subseteq E$ dan $\sigma_c(E',E)$ menunjukkan topologi awal sehubungan dengan $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, yaitu topologi subruang aktif $E'$ diwarisi dari topologi konvergensi kompak $C(K)$.
Membiarkan $\mathcal C\subseteq C(E')$ menjadi seragam $\sigma_c(E',E)$-equicontinuous.
Mengapa kita bisa menyimpulkan itu $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Kemungkinan besar klaim yang diinginkan sepele untuk diperoleh, tetapi saya tidak dapat melihat caranya karena pengaturan yang agak rumit.
$(1)$ jelas merupakan semacam equicontinuity di $0$. Saya tidak yakin apakah itu relevan, tetapi dengan teorema Banach-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ aku s $\sigma_c(E',E)$-kompak untuk semua $\delta>0$.
Jawaban
Ingat definisi kesetaraan seragam dari$\mathcal{C}$ sebagai satu set peta $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
Untuk setiap lingkungan $V \subseteq \Bbb{R}$ dari $O$ ada lingkungan $U$ dari $0$ di $(E',\sigma_c(E',E))$ seperti yang $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Sekarang untuk $\psi = 0$ dan $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, kami mendapatkan lingkungan $U$ dari $0$ seperti yang $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ menjadi lingkungan $0$ berisi perpotongan dari banyak bola terbuka di sekitar titik asal jari-jari $\delta_1, \ldots, \delta_k$ sehubungan dengan seminorms set kompak $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Set $K_k$ dibatasi dalam norma oleh beberapa orang $M_k > 0$ jadi jika kita atur $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ lalu untuk apa saja $\varphi \in E'$ kita punya $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ untuk semua $k=1, \ldots, n$ begitu $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Jika saya tidak salah, ini harus menjadi contoh dari hasil yang lebih umum: Mari
- $(X,\tau)$ menjadi ruang topologi;
- $Y$ menjadi normed $\mathbb R$ruang -vektor;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ untuk $\tau$-kompak $K\subseteq X$ dan $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ menjadi ruang metrik;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ kontinu sehubungan dengan topologi konveks lokal di $C(X,\tau;Y)$ dihasilkan oleh $P$ dan metrik $d$ di $Z$.
Kemudian kita dengan mudah melihatnya $f$ berkelanjutan sehubungan dengan norma $\overline p$ di $C(X,\tau;Y)$ dihasilkan oleh $P$ dan metrik $d$ di $Z$: Biarkan $f\in C(X,\tau;Y)$ dan $\varepsilon>0$. Dengan asumsi kontinuitas aktif$F$, ada sebuah $P$-lingkungan $N$ dari $f$ dengan $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Membiarkan $U_p$ menunjukkan bola unit terbuka masuk $$C(X,\tau;Y)$$ dengan hormat $p\in P$. Kami bisa menulis$N=f+N_0$ untuk beberapa $P$-lingkungan $N_0$ dari $0$. Apalagi ada$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-kompak $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ dan $\delta_0>0$ dengan $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Sekarang biarkan $\delta\in(0,1)$ dengan $\delta\le\delta_0$. Kemudian,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ dan karenanya $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ yaitu $f$ kontinu di $f$ sehubungan dengan topologi konveks lokal di $C(X,\tau;Y)$ dihasilkan oleh $P$ dan metrik $d$ di $Z$.
Sebagai alternatif, hasilnya akan segera diikuti dengan mencatat bahwa topologi dihasilkan oleh $P$ lebih kasar dari topologi yang dihasilkan $\overline p$, seperti yang dibahas di sini .
Sekarang, jika $X$ adalah norma $\mathbb R$ruang -vektor dan $\tau$ adalah topologi yang dihasilkan oleh $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, kemudian $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ dan karenanya topologi dihasilkan oleh $\left\|\;\cdot\;\right\|$ lebih kasar dari pada topologi operator seragam (yaitu topologi yang dihasilkan oleh $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). Jadi, kami segera mendapatkannya$F$ kontinu sehubungan dengan topologi yang dihasilkan oleh $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ dan metrik $d$ di $Z$ demikian juga.