Tunjukkan bahwa sekelompok pesanan $pq$ memiliki subgrup pesanan $p$ dan $q$ tanpa menggunakan teorema sylow dan cauchy

Aug 16 2020

Jika $o(G)$ adalah $pq$, $p>q$ adalah bilangan prima, buktikan itu $G$ memiliki subgrup pesanan $p$ dan subkelompok pesanan $q$.

[Pertanyaan ini dari Herstein dan muncul sebelum teorema Sylow dan Cauchy. Jadi saya mengharapkan jawaban tanpa menggunakan salah satu dari ini]

Inilah yang saya dapatkan sejauh ini:

Jika $G$ adalah siklik maka kita selesai sebaliknya, kita dapat mengasumsikan bahwa itu bukan siklik yang berarti setiap elemen non-identitas harus teratur $p$ atau $q$.

Kasus $(1)$ jika ada $a\in G$ seperti yang $o(a) = p$ dan jika ada juga elemen keteraturan $q$maka kita selesai. Jadi kita dapat berasumsi bahwa setiap elemen non-identitas teratur$p$. Sekarang pilih$b\in G$ seperti yang $b\notin \langle a \rangle$ kemudian $o(b) = p$ dan $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

Jadi kita punya $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ tapi $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ tapi $p^2 > pq$ [sejak $p>q$] jadi kami mendapat kontradiksi.

Beri saya petunjuk untuk kasus kedua dan perbaiki saya jika argumen saya untuk kasus pertama salah

Jawaban

4 UmeshShankar Aug 16 2020 at 20:40

Asumsikan bahwa setiap elemen non-identitas menghasilkan kelompok urutan siklik $q$, yang lebih kecil dari bilangan prima.

Konjugasi adalah relasi ekivalensi pada suatu kelompok. Jadi, kita harus dapat mempartisi grup menjadi kelas ekivalennya. Ukuran kelas ekivalen yang dimiliki suatu elemen adalah indeks pemusat elemen. Mengapa? Memperbaiki$x\in G$. Buatlah homomorfisme dari$G \rightarrow G$ dengan mengirim $g \rightarrow xgx^{-1}$. Ukuran kelas kesetaraan adalah urutan gambar. Apa inti dari peta ini?

Jika pemusat berfungsi $p$ atau $pq$, kita selesai. Anggaplah setiap pemusat teratur$q$, indeks dari centralizer adalah $pq/q=p$. Setiap elemen akan termasuk dalam kelas ukuran yang ekivalen$p$, kecuali untuk elemen identitas.

Perhitungan kardinalitas sederhana menunjukkan hal itu $pq= kp+1$, di mana mewakili jumlah kelas kesetaraan. Namun, ini tidak masuk akal dan oleh karena itu, tidak setiap subgrup ordo$q$.