Tunjukkan bahwa set daya adalah satu set.

Aug 20 2020

Saya menemukan proposisi berikut yang ingin pembaca buktikan:

Proposisi 1 . Untuk set sewenang-wenang$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ adalah satu set.

Upaya saya (terutama berdasarkan petunjuk yang diberikan oleh penulis):

Saya pertama-tama akan menyatakan aksioma kekuatan yang disajikan dalam buku (yang tampaknya berbeda dari apa yang tertulis di artikel wikipedia ):

Aksioma pengaturan daya . Membiarkan$X$ dan $Y$menjadi set. Kemudian ada satu set, dilambangkan$Y^{X}$ , yang terdiri dari semua fungsi dari $X$ untuk $Y$ , jadi

$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X$ and range Y)}$$

Dengan menggunakan aksioma himpunan daya dan aksioma pengganti, kita dapat membangun himpunan berikut

$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$

Sekarang kita perlu menunjukkan itu secara sewenang-wenang $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$

$(\rightarrow)$ Silahkan ambil $A \in S$ dan ambil beberapa $a \in A$. Sejak$A \in S$, ada beberapa $f: X \rightarrow Y$ seperti yang $f^{-1}(\{1\}) = A$. Dengan definisi gambar mundur, kita dapat menyimpulkan itu$a$ berada di domain $f$, itu adalah $a \in X$.

$(\leftarrow)$ Ambil subset sewenang-wenang dari $X$, katakanlah $A$. Kita bisa mendefinisikan$f: X \rightarrow Y$ seperti yang $f(x) = 1$ iff $x \in A$, dan $f(x) = 0$jika tidak. Kami melihat itu$f \in \{0,1\}^{X}$ dan memang benar itu $A = f^{-1}(\{1\})$. Karenanya$A \in S$.

Karenanya $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, yang artinya $\{A \mid A \subseteq X\}$ adalah satu set.

$\blacksquare$


Pertanyaan 1.

Apakah itu benar?

Pertanyaan 2.

Jika bukti di atas benar, apakah ada alternatif yang lebih ringkas? Sebelum melihat petunjuk oleh penulis (yaitu, kita perlu menggunakan aksioma himpunan daya dan aksioma pengganti), saya pikir argumen berikut akan cukup: "Himpunan adalah kumpulan objek. Subset adalah objek. Karenanya kumpulan subset dari satu set tertentu adalah satu set. "

Jawaban

2 Rick Aug 28 2020 at 20:44

Bukti ini terlihat bagus bagi saya. Hanya beberapa komentar tentang itu:

  1. Kecuali itu telah dibuktikan di tempat lain dalam buku yang Anda baca, saya akan menambahkan pembenaran mengapa unsur-unsur $S$ adalah set, jadi seperti itu $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ adalah satu set untuk masing-masing $f \in \{0,1 \}^X$ oleh aksioma pemisahan.
  2. Dalam $(\to)$ arah Anda perlu mempertimbangkan dua kasus, yaitu $A = \varnothing$ dan $A \neq \varnothing$. Jika$A = \varnothing$, lalu sepele $A \subseteq X$; jika tidak ada$a \in A$ (seperti yang Anda nyatakan), dan sisa buktinya mengikuti.

Seperti yang diisyaratkan dalam komentar, gunanya menggunakan formalisme semacam itu untuk membuktikan bahwa untuk set apa pun $A$, $\mathcal P(A)$juga merupakan himpunan (alih-alih berdebat seperti yang Anda pikirkan pertama kali), berasal dari ahli matematika yang mencoba menghindari posisi di mana kumpulan himpunan tertentu begitu "besar" sehingga kontradiksi muncul dalam sistem aksioma Anda, seperti yang dicontohkan dalam Cantor dan Paradoks Burali-Forti .