Tunjukkan peringkat itu ( $A^{n+1}$) = peringkat ( $A^n$) [duplikat]

Question

Seharusnya $A$ adalah $n \times n$ matriks yaitu $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, buktikan peringkat itu ($A^{n+1}$) = peringkat ($A^n$). Dengan kata lain, saya perlu membuktikan bahwa ruang jangkauan atau ruang kosongnya sama. Jika itu membantu,$A$ adalah matriks tunggal.

Perhatikan bahwa, saya tidak ingin menggunakan blok Jordan untuk membuktikan ini. Apakah mungkin untuk membuktikan ini tanpa menggunakan formulir Jordan? Saya dapat menggunakan teorema triangularisasi Schur. Juga, tidak diketahui apakah A dapat didiagonalisasi.

Answer 1

$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ Jelas untuk setiap $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, jadi jika $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. Jika$d_{m+1}=d_m$ untuk beberapa $m$, kemudian $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ dan oleh karena itu $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. Yaitu urutannya$d_0,d_1,\dots$menjadi konstan setelah berhenti turun.
Karena$d_0= n$, urutannya harus berhenti menurun di dalam $n$ istilah.

Sunting: Untuk masalah yang Anda ungkapkan di komentar, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
Oleh karena itu$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.

Answer 2

Petunjuk

Anda bisa membuktikannya untuk $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$

Karena itu, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ akan menyiratkan kontradiksi $\mathrm{rank}(A) \gt n$.

Answer 3

Semua memang bergantung $n$. Jadi ini adalah kasus yang bagus untuk induksi lengkap di atas n.

n = 1: A = a nyata atau kompleks dan bukan nol. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$

Untuk $n$ alami hipotesa tersebut $true$.

Untuk $n+1$ Perubahan tepat dalam satu baris atau kolom untuk kasus tersebut $n$. Baris atau kolom ini dapat berupa tetapi tidak linier bergantung pada yang lain yang menyusun A untuk$n$. Secara implisit setidaknya satu elemen dalam kolom atau baris adalah bukan nol persis dalam dimensi yang ditambahkan ke A untuk$n$.

Sekarang kita dapat menggunakan beberapa definisi yang setara untuk $rank$dari matriks persegi. Dengan batasan keumuman baris atau kolom yang ditambahkan hanya memiliki satu elemen bukan nol. Ini bertindak sebagai faktor misalnya dalam pengembangan determinate atau merupakan nilai eigen baru atau matriks A untuk$n+1$. Jadi determinannya adalah bukan nol setidaknya dalam perkembangan itu karena kita memiliki nilai bukan nol dan pengetahuan bahwa determinan A kita untuk$n$ bukan nol dan $rank(A)=n$.

Gagasan utama untuk langkah induksi adalah ring of matrice rank atau Rangking yang dibalik dengan perkalian matriks nonsingular pada umumnya a$A$sendiri secara khusus. Matriks dengan bukan nol$rank$pertahankan peringkat di bawah perkalian. Perkalian yang dipertimbangkan bersifat komutatif karena kita hanya mengalikan A. Itu adalah indikator lain untuk hipotesis kita$n+1$. Nilai eigen dan dekomposisi Schur sangat erat kaitannya. Salah satu matriks dalam dekomposisi Schur adalah matriks segitiga atas. Jadi meningkatkan dimensi dari$n$ untuk $n+1$ cukup menambahkan yang terakhir jika baris dan kolom terakhir dalam vektor bersatu hanya dengan nilai dalam dimensi baru.

Dekomposisi Schur setara dengan matriks tersebut $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ memiliki properti yang mengandalkan matriks $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. Matrice dari$rank$ dari kelompok dan dapat berubah menjadi satu sama lain di bawah konservasi $rank$. Dan buktinya sudah selesai.