Turunan basis kovarian dan kontrovariant

Question

Bagaimana menunjukkannya

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

dimana $\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$ dan $\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$ yang merupakan vektor basis dan basis ganda dari beberapa manifold?

Ada saran?

Terima kasih!

Answer 1

Di mana Anda menemukan klaim ini? Ekspresi pertama${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$bukan covaraint. Kalau salah tulis saja${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$ maka masuk akal karena simbol Christoffel didefinisikan oleh $$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$ memberi

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$ dan dengan $\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $ dan dengan aksi turunan kovarian pada makhluk covector $\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$ kita mendapatkan $$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$ Jadi mereka berbeda setidaknya dengan tanda minus.

(maaf saya terus mengedit - saya terus membuat kesalahan konyol)