Untuk bilangan bulat positif $n\geq 2$ dengan pembagi $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, buktikan itu $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

IMO 2002 P4 Biarkan $n\geq 2$ menjadi bilangan bulat positif dengan pembagi $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Buktikan itu$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ selalu kurang dari $n^2$, dan tentukan kapan itu adalah pembagi dari $n^2$

Saya mencoba pertanyaan ini tetapi saya kehabisan ide, dapatkah seseorang memberikan sedikit petunjuk atau saran? Tolong, tanpa memberi saya solusi.

Saya mencoba menggunakan fakta bahwa produk $d_i$*$d_{i+1}$ adalah pembagi dari $n^2$ (dan semuanya berbeda) dan mungkin mencoba menggunakan rumus untuk jumlah pembagi untuk melihat apakah jumlah spesifik ini kurang dari $n^2$

Jawaban

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

Petunjuk 1: Seberapa besar kaleng $d_{k-1}$ menjadi sebagai fungsi dari $n$? Bagaimana dengan$d_{k-2}$?

Petunjuk 2: Biarkan $p$ menjadi faktor prima terkecil dari $n$. Apa yang dapat Anda katakan tentang$d_{k-1}$ dengan kondisi $n,p$? Berapa pembagi terbesar (tepat) dari$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

Sejak $d$ adalah pembagi dari $n$ jika dan hanya jika $n/d$ adalah, kami punya $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ kiri [\ teks {sejak $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\Baik]$}$$

Untuk bagian kedua, biarkan $n$ menjadi komposit dan $p$ menjadi faktor prima terkecil dari $n$. Lalu kita punya$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Sekarang jika $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ adalah pembagi dari $n$ maka kita harus punya $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Tapi$p>\frac{n^2}{N}$ adalah kontradiksi sejak $p$ adalah pembagi prima terkecil dari $n^2$. Begitu$N\mid n^2$ jika dan hanya jika $n$ adalah bilangan prima.