Verifikasi bukti tentang suprema urutan
Membiarkan $(a_n)_{n=m}^{\infty}$menjadi urutan bilangan real. Membiarkan$x$ menjadi bilangan real seperti itu $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}=\sup(\{a_n : n\geq m\}$. Kemudian untuk semua$n\geq m$, kami punya itu $a_n\leq x$ dan jika $M\in \mathbb{R}$ seperti yang $M$ adalah batas atas untuk $a_n$, lalu untuk semua $n\geq m$, kita punya $M\geq a_n$. Juga, untuk semua$y\in \mathbb{R}$ seperti yang $y<x$, ada $n\geq m$ seperti yang $y<a_n\leq x$.
Inilah upaya saya untuk membuktikan:
Menurut definisi, $x$ adalah supremum dari himpunan $\{a_n : n\geq m\}$, yang berarti batas atas himpunan. Jadi untuk setiap$n\geq m$, kita punya $a_n \leq x$. Juga menurut definisi, untuk apa saja$M$ itu adalah batas atas himpunan, $x\leq M$, yang $a_n \leq x\leq M$mengikuti. Akhirnya, menurut definisi supremum, kami memiliki itu untuk setiap$\varepsilon >0$, ada $a_n\in \{a_n : n\geq m\}$ seperti yang $a_n>x-\varepsilon$. Jadi siap$y=x-\varepsilon <x$ untuk memperoleh $a_n>y=x-\varepsilon$ lalu $x\geq a_n >y$ mengikuti.
Saya mempelajari analisis nyata sendiri, jadi saya hanya ingin memastikan bahwa saya membuat semua langkah yang benar dan jika saya menyusun bukti ini dengan benar.
Jawaban
Ide Anda bagus tetapi menulis perlu perbaikan. Anda diberikan$y<x$ jadi 'set $y=x-\epsilon<x$'tidak masuk akal. Sebaliknya, Anda harus mengatakan biarkan$\epsilon =x-y$. Kemudian$\epsilon >0$ jadi disana ada $n$ seperti yang $a_n >x-\epsilon$. Dengan perubahan ini semua argumen Anda baik-baik saja.