C'è una sequenza di entourage annidati $\{U_n\}$ con $\bigcap U_n=\Delta_X$, Se $X$ è compatto spazio uniforme Hausdorff

Question

Permettere $(X, \mathcal{U})$essere uno spazio uniforme compatto di Hausdorff. È risaputo che$\bigcap \{U: U\in \mathcal{U}\}= \Delta_X$.

C'è una sequenza $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ con $U_{n+1}\subseteq U_n$ e $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n=\Delta_X$?

Answer 1

No, questo accade solo se $X$è metrisable. Questo segue da questa risposta , poiché allora la diagonale è chiusa$G_\delta$ in uno spazio normale e quindi uno zero.

Quindi prendi qualsiasi Hausdorff compatto non metrisabile $X$ per un controesempio, ad esempio Doppia freccia ( $X \times \{0,1\}$ nella topologia d'ordine indotta dall'ordine lessicografico) o $\omega_1+1$, o la compattazione in un punto di uno spazio discreto innumerevole, ecc.