Che cos'è davvero una categoria di infinito?
Sono interessato esattamente a quali informazioni codifica una categoria infinita. Ad esempio, considera la categoria di spazi infinita. Mi piace pensare a questo come alla categoria di omotopia degli spazi dotati di qualche struttura extra, proveniente dal modello di insieme simpliciale, che ci permette di calcolare i limiti di omotopia e così via. La mia (piuttosto vaga) domanda è:
- Quanto è unica questa struttura? In altre parole, data una categoria di omotopia, esiste una categoria di infinito associata canonica?
- Allo stesso modo, le categorie dell'infinito codificano qualsiasi informazione che non sia omotopica (con questo intendo informazioni che non possono essere ottenute dalla categoria dell'omotopia) in natura? E allora?
Risposte
Penso che sia utile considerare un analogo di dimensione molto inferiore della tua domanda, che è (almeno per me) molto più facile da ragionare in modo intuitivo, ma trasmette comunque parte del messaggio.
Confrontiamo$0$-categorie (cioè, insiemi) e$1$-categorie (cioè categorie) in base a ciò che sono in grado di codificare.
- un$0$-category è solo una classe di oggetti. Due oggetti di a$(0,1)$-category sono equivalenti proprio se sono uguali (questo è il$0$-categorico troncamento dell'equivalenza), e non si può veramente dire altro sugli oggetti.
- un$1$-categoria è a$0$-categoria (debolmente) arricchita in$(0,0)$-categorie (cioè insiemi), che ci permettono di essere più delicati su come un oggetto si relaziona con un altro; in particolare, i morfismi ci permettono di descrivere la struttura degli oggetti, e$1$Il linguaggio categorico si rivolge quindi alle proprietà degli oggetti riguardo alla loro struttura. Più precisamente, due oggetti di a$1$-category sono equivalenti proprio se sono isomorfe (cioè hanno la stessa struttura), e$1$-le costruzioni categoriali (come i co/limiti) sono definite fino all'isomorfismo.
Dato un$1$-categoria$\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, possiamo definirne l' omotopia$0$-categoria $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$come la$0$-categoria i cui oggetti sono classi di isomorfismo di oggetti di$\cC$. Questo serve come una presentazione efficace di$\cC$con un$0$-categoria nel senso che oggetti di$\cC$sono isomorfi proprio se gli oggetti corrispondenti in$\Ho\cC$sono uguali.
Tuttavia, possiamo anche vedere che questo è difficile da decodificare, anche canonicamente, in quanto diversi non equivalenti$1$-categorie possono avere la stessa omotopia$0$-categoria. Il modo più rapido per vederlo è notare che a$0$-categoria$X$può essere pensato come a$1$-categoria con solo morfismi identitari, e in questo caso$\Ho X=X$; in particolare, dato qualsiasi$1$-categoria$\cC$, la sua omotopia$0$-categoria$\Ho\cC$è anche una presentazione del$0$-categoria$X := \Ho\cC$ visto come un$1$-categoria . Quale di$\cC$e$X$sarebbe una scelta più adatta di un "canonico$1$-category" associato a$\Ho\cC$?
Inoltre, come menzionano i commenti, è quasi impossibile da eseguire$1$-costruzioni categoriali nell'omotopia$0$-category: gli unici diagrammi$F:J\to\Ho\cC$che hanno limiti sono diagrammi costanti. Infatti, anche se stessimo calcolando il limite di un funtore$F:J\to\cC$dove tutti gli oggetti nel diagramma erano isomorfi tra loro (ovvero la mappa indotta$F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$è una mappa costante) in modo che il limite nell'omotopia$0$-categoria esiste, il limite in$\Ho\cC$non deve essere affatto correlato al limite in$\cC$. Ad esempio, il prodotto cartesiano$X\times X$generalmente non è isomorfo a$X$, ma il limite nella mappa corrispondente$\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$(che è una mappa costante) sarà sempre la classe di isomorfismo di$X$.
La storia è simile per$(\infty,1)$-categorie. Poiché queste possono essere pensate come categorie debolmente arricchite di spazi (o$\infty$-gruppoidi), possiamo essere ancora più delicati su come confrontiamo gli oggetti. Proprio come le categorie si occupano della struttura degli oggetti,$(\infty,1)$-categorie riguardano la struttura coerente omotopica degli oggetti. Per esempio:
- considerare gli spazi topologici$\Bbb R$,$(0,1)$, e$\{0\}$. Se li guardiamo$0$-categoricamente (nel$0$-categoria$\mathbf{Top}_0$di spazi topologici), allora sono tutti completamente diversi, in quanto costituiti da elementi diversi. Se li guardiamo$1$-categoricamente (nel$1$-categoria$\mathbf{Top}$di spazi topologici e mappe continue), quindi$\Bbb R$e$(0,1)$sono uguali perché hanno la stessa struttura topologica, ma sono diversi da$\{0\}$perché non possono essere messi in biiezione. Infine, se li guardiamo$(\infty,1)$-categoricamente, allora tutti e tre gli oggetti sono uguali, in quanto possono essere contratti fino a un punto.
- allo stesso modo, considera le categorie$\mathbf{FinSet}$di insiemi finiti e la sua sottocategoria completa$\mathbf{FinOrd}$su ordinali finiti. Sono non isomorfe come categorie perché la prima ha una classe propria di oggetti mentre la seconda ha un insieme e quindi non può essere messa in biiezione; tuttavia, sono equivalenti come categorie perché possiamo contrarre gli oggetti di$\mathbf{FinSet}$insieme per biiezioni insieme (per le loro cardinalità) e trova quello$\mathbf{FinOrd}$è lo scheletro di$\mathbf{FinSet}$
Possiamo certamente associare ad an$(\infty,1)$-categoria$\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$una categoria di omotopia$\Ho\sC$, dove gli oggetti di$\Ho\sC$sono isomorfe proprio se sono equivalenti in$\sC$, ma vediamo lo stesso problema quando proviamo a decodificare questo. Proprio come prima, una categoria$\cC$può essere pensato come un$(\infty,1)$-categoria in cui tutte le celle superiori sono banali, e in questo caso$\Ho\cC=\cC$, quindi dato un$(\infty,1)$-categoria$\sC$, la sua categoria di omotopia è anche una presentazione della categoria$\cC := \Ho\sC$ visto come un$(\infty,1)$-categoria .
Inoltre, i limiti di calcolo in$\Ho\sC$non dirà nulla su come calcolare i limiti in$\sC$. Si consideri ad esempio il$(2,1)$-categoria$\mathbf{Cat}$di (piccole) categorie, funtori e isomorfismi naturali, visti come un$(\infty,1)$-categoria. Quindi, la sua categoria di omotopia$\Ho\mathbf{Cat}$in realtà non riesce ad avere pullback, come mostrato qui . Viene qui sottolineata anche la distinzione tra limiti di omotopia in generale e limiti nella corrispondente categoria di omotopia , dove si sottolinea che anche se il limite in$\Ho\sC$esiste, non è necessario che corrisponda al limite in$\sC$.
In alcuni casi, puoi presentare un$(\infty,1)$-categoria con a$1$-categoria dotata di struttura extra in modo da poter lavorare$1$-linguaggio categoriale per discutere la struttura del$(\infty,1)$-category che presenta e potresti anche essere in grado di recuperare il file$(\infty,1)$-categoria canonicamente. Ad esempio, se$\sC$è presentabile localmente$(\infty,1)$-category , puoi presentarlo con una categoria di modello simpliciale combinatorio$\cC$. Quindi, limiti in$\sC$corrispondono ai limiti di omotopia in$\cC$, e hanno persino le stesse categorie di omotopia. Inoltre, puoi recuperare$\sC$prendendo (per esempio) il nervo coerente di omotopia della sottocategoria semplicemente arricchita di$\cC$sugli oggetti fibranti cofibranti, quindi in questo senso c'è anche un modo canonico di andare a ritroso.