Come valuti $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
Questo integrale spuntato quando si stava cercando di risolvere questo . Non so se sia possibile ottenere una soluzione generale per
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
dove $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha è in grado di risolvere l'integrale per$n=1,2,3$, ma poi il tempo di calcolo si esaurisce. Si può sostituire$u = \arcsin(x)$ e $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha utilizza alcune identità trigonometriche per risolvere i casi in cui $n=1,2,3$, ma c'è un modo per risolvere per tutti $n\in\mathbb{N}$?
Risposte
So che non si può aiutare con il modo di valutare, ma Mathematica dà la soluzione$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ che sembra funzionare anche per almeno alcune frazioni $n$. $\;_3F_2$utilizza la notazione di una funzione ipergeometrica generalizzata . Il termine più a destra è relativo alla trasformata di Mellin di$\arcsin^2(x)$.
La soluzione di Mathematica è probabilmente raggiunta utilizzando la rappresentazione di $\arcsin(x)$come una funzione Meijer-G e risolvendo una forma generale per l'integrale di una coppia di funzioni Meijer-G . Infine, riconvertendo il risultato in una funzione ipergeometrica. Questo è un algoritmo comune per risolvere simbolicamente gli integrali in generale, ma è difficile dirlo con certezza, poiché il tuo integrale è anche convolto con una funzione di passo di Heaviside.
È più probabile che tu possa scrivere il tuo integrale come $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$, cioè la trasformata di Mellin del prodotto di $\Theta(1-x)$ e $\arcsin^2(x)$, che hanno rappresentazioni Meijer-G $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ e $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ e usa l'equazione $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ o simili, quindi il computer è uno strumento molto utile, soprattutto per scomporre il risultato in termini di identità ipergeometriche.
Una soluzione alternativa, evitando funzioni speciali.
A volte si può ottenere un integrale indefinito se si fa un'ansatz sulla soluzione, a seconda di alcuni parametri sconosciuti, quindi differenziando, si può ottenere il valore corretto dei parametri.
Assumilo per pari $n=2m$ la soluzione ha la forma $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ dove $P_m,Q_m$ sono polinomiali di grado $m.$ Quindi, differenziando abbiamo l'identità $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ Tutti i termini devono scomparire, eccetto $x^{2m}\arcsin^2(x)$, quindi, separando i termini che contengono $\arcsin(x)$ dagli altri e con la posizione $t=x^2,$ abbiamo le due equazioni differenziali lineari del primo ordine: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$di cui non abbiamo bisogno, e non vogliamo, le soluzioni generali, che contengono radici quadrate, ma solo le soluzioni polinomiali particolari uniche. Una volta trovate queste soluzioni, è facile vedere che il valore dell'integrale definito è$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
In modo simile, per dispari $n=2m+1$, supponiamo $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ e andando direttamente all'equazione differenziale ottenuta, lo sono $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (dal primo di questi otteniamo anche $k=Q_m(0)$).
Di nuovo, cerchiamo la soluzione polinomiale e, una volta trovata, abbiamo$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$