Confusione intorno all'algebra dell'equazione di riflessione

Aug 21 2020

Ho riscontrato diverse occorrenze della cosiddetta algebra dell'equazione di riflessione (REA) ma a seconda di dove le trovo, mi sembra di ottenere oggetti leggermente diversi. In tutti i casi c'è un'algebra di Hopf quasi triangolare in agguato sullo sfondo. In quello che segue$V$ sarà sempre uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Ecco un elenco delle diverse occorrenze che ho riscontrato:

  1. Permettere $H$ essere un'algebra di Hopf quasi triangolare con $R \in H \otimes H$ è universale $R$-matrice (qui forse abbiamo dei completamenti ma non ha molta importanza). L'algebra di riflessione è quindi come spazio vettoriale il duale ristretto$H^\circ$. Questa è la subalgebra del duale completo attraversato dai cosiddetti coefficienti di matrice. La struttura algebrica deriva dalla struttura algebrica del duale pieno ma distorta dall'universale$R$-matrice. Penso che questo sia talvolta chiamato il duale intrecciato di$H$. Vedere per esempio la definizione 4.12 dihttps://arxiv.org/pdf/math/0204295.pdf

  2. Permettere $R: V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ essere un endomorfismo di $V \otimes V$soddisfacendo l'equazione di Yang-Baxter. Quindi l'algebra dell'equazione di riflessione se l'algebra generata dagli elementi$(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ con relazione $$RA_1RA_1 = A_1RA_1R$$ dove $A$ è la matrice $n \times n$ aventi gli elementi generatori come coefficienti e $A_1 = A \otimes Id$. Penso che qui gli elementi generatori siano in qualche modo considerati elementi di$V^{\ast} \otimes V$. Questo è stato riscontrato proprio all'inizio dell'introduzione dihttps://arxiv.org/pdf/1806.10219.pdf

  3. Questo è un esempio speciale. Qui è l'algebra di Hopf in agguato sullo sfondo$U_q(\frak{sl_2})$ e il $R$-matrix è data da $$ \begin{pmatrix} q & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & q-q^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& q \end{pmatrix}.$$ In questo caso è l'algebra generata dagli elementi $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ con relazione: $$R_{21}A_1RA_2 = A_2R_{21}A_1R$$ e anche $$ a_{11}a_{22}- q^2a_{12}a_{21} = 1.$$ Questa algebra è spesso indicata con $\mathcal{O}_q(SL_2)$ o qualche volta $\mathcal{O}(Rep_q(SL_2))$. Questo è apparso come Esempio 1.23 inhttps://arxiv.org/pdf/1908.05233.pdfe anche come Definizione 2.1. nelhttps://arxiv.org/pdf/1811.09293.pdf (essere consapevoli della nota in calce per recuperare quello che ho scritto).

Posso vedere come alcuni di questi sono correlati, per esempio il terzo è quasi un caso specifico del secondo ma c'è un altro rapporto.

Nella prima gli elementi della matrice possono essere pensati come se fossero in $W^{\ast} \otimes W$ per qualsiasi rappresentazione $W$ di $H$. Nel caso in cui qualsiasi rappresentazione dimensionale finita di$H$ può essere visto come una sottorappresentazione di un prodotto tensoriale della rappresentazione standard $V$, allora è effettivamente generato solo dai coefficienti di matrice provenienti da $V$.Allora assomiglia molto a quello che abbiamo in 2). Tuttavia, manca ancora una relazione se ci si specializza nel caso$H = U_q(\frak{sl2})$per ottenere lo stesso di 3). E se ci fosse una rappresentazione di$H$ che non è una sottorappresentazione di un prodotto tensoriale di quello standard?

DOMANDA: Sono tutte effettivamente la stessa cosa o mi sto perdendo qualcosa? Sono un po 'confuso su ciò che la gente chiama effettivamente algebra dell'equazione di riflessione. C'è qualche bella definizione per qualsiasi algebra di Hopf quasi triangolare$H$ che ingloba tutti gli "esempi" precedenti?

Risposte

3 Adrien Aug 21 2020 at 17:57
  1. L'unica definizione ragionevole della REA associata ad un'algebra di Hopf quasi triangolare è 1). Questa è, ovviamente, una definizione un po 'astratta, ma fornisce una soluzione dell'IR che è universale in un senso preciso.
  2. ricorda la cosiddetta costruzione Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (solitamente abbreviata in FRT). Il suo vantaggio principale è che non richiede un'algebra di Hopf per iniziare (piuttosto, nella costruzione FRT originale, l'obiettivo era di produrre un'algebra di Hopf partendo da una soluzione arbitraria del QYBE). Anche se$R$ provengono da un'algebra di Hopf quasi triangolare, non darà la stessa risposta di 1) tranne nel caso di $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ (anche in questo caso non è del tutto vero, si ottiene una certa deformazione di $\mathcal O(\mathfrak{gl}_n)$ anziché $\mathcal O(GL_n)$). In generale ci sarà una mappa da 2) a 1).
  3. D'altra parte, come dici tu, puoi eseguire questa costruzione nel caso $V$è una rappresentazione che genera tutte le altre. In effetti questo approccio è utile per trovare una presentazione del REA, poiché è effettivamente generato da coefficienti di matrice: in parole povere questo ti darà un insieme di generatori ma non in generale tutte le relazioni. Questo è ciò che accade qui: se esegui la ricostruzione FRT per la matrice R di$\mathfrak{sl}_n$ ottieni un po 'di algebra, ma poi devi aggiungere questa relazione extra menzionata che, come probabilmente sai, non è altro che $q$-analog di $\det(A)=1$. Ancora una volta questo si manifesta già nella situazione originale, vedere la definizione 4 inhttp://math.soimeme.org/~arunram/Resources/Reshetikhin/QuantizationOfLieGroupsAndLieAlgebras.html.

Modifica È utile pensare alle proprietà universali: 1) è universale per le algebre$A$ con una soluzione di RE in $A\otimes H$, mentre 2) è universale per le algebre $A$ con una soluzione di RE in $A\otimes End(V)$. Naturalmente, componendo con la mappa algebrica$H\rightarrow End(V)$ dato dall'azione di $H$ sopra $V$ ogni soluzione della prima equazione fornisce una soluzione alla seconda, quindi applicandola al caso $A$ è la REA stessa si ottiene una mappa dall'algebra costruita in 2) a quella costruita in 1).

3 JulesLamers Aug 22 2020 at 12:24

Consentitemi innanzitutto di notare che la matrice di riflessione, che denotate con $A$, è spesso chiamato matrice K, cfr. la sua rappresentazione grafica con | un "muro" e <la "linea del mondo" di particelle che rimbalzano sul muro. La forma grafica dell'equazione può già essere trovata in Cherednik, Fattorizzazione di particelle su una semiretta e sistemi di radice (1984)https://link.springer.com/article/10.1007/BF01038545. La notazione$K$potrebbe essere dovuto a Sklyanin, Boundary conditions for integrable quantum systems (1988),https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/21/10/015.

L' algebra di riflessione (equazione) è l'analogo dell'equazione di riflessione dell'algebra Yang - Baxter: a qualsiasi scelta di spazio vettoriale a dimensione finita e matrice R che obbedisce all'equazione Yang - Baxter (e altre proprietà adatte, come l'unitarietà dell'intreccio e una "condizione iniziale") si può associare un'algebra associativa unitale generata dalle voci (non commutative) della matrice K che obbediscono all'equazione di riflessione.

Se si sostituisse il riflesso (`$RKRK$') dall'equazione $RLL$-equazione uno invece arriva all'algebra Yang-Baxter, che è l'operatore algebrico strettamente correlato alla presentazione FRT (o R-matrix) delle algebre quantistiche affini.

Ri 3: La presentazione FRT non dice nulla sul determinante quantistico, quindi per ottenere $SL_n$ devi imporre $qdet = 1$ separatamente, che è la tua ultima equazione in 3. La versione dell'equazione di riflessione che fornisci a volte può essere semplificata: supponiamo che la matrice R sia simmetrica nel senso che $P R P = R$ con $P$la permutazione. Poi$R_{21} = R_{12}$nella solita notazione tensore-gamba. In questi casi tutte le matrici R nell'equazione di riflessione possono essere scritte usando solo$R$. (Graficamente la necessità di$R_{21}$ è chiaro, però.)

Ri 2: Questi autori lavorano con la versione a treccia della matrice R, spesso indicata con $\check{R}$. Vale a dire, supponiamo che$R$ obbedisce alla YBE

$$ R_{12}(u,v) \ R_{13}(u,w) \ R_{23}(v,w) = R_{23}(v,w) \ R_{13}(u,w) \ R_{12}(u,v) \ , $$

dove ho assunto che la matrice R potrebbe dipendere da un parametro spettrale associato a ciascuna copia dello spazio ausiliario in generale. (Questo è per il caso affine, ma aiuta a evidenziare la struttura dell'equazione.) Quindi entrambi$P \ R$ e $R \ P$ obbedire alla versione a treccia di YBE

$$ \check{R}_{12}(u,v) \ \check{R}_{23}(u,w) \ \check{R}_{12}(v,w) = \check{R}_{23}(v,w) \ \check{R}_{12}(u,w) \ \check{R}_{23}(u,v) \ . $$

Devi sempre verificare quale versione viene utilizzata. Nel documento che citi in 2 è quest'ultimo, motivo per cui entrambi$A$hanno lo stesso pedice.

Ri 1: Credo che la corretta interpretazione algebrica della costruzione di Sklyanin delle rappresentazioni della matrice K come matrice monodromica a doppia fila, costruita da una matrice K con voci scalari e un operatore L, sia come una subalgebra coideale , vedere Kolb e Stokman, algebre dell'equazione di riflessione, sottoalgebre coideali e loro centri ,https://arxiv.org/abs/0812.4459.

Potresti anche essere interessato al recente articolo di Appel e Vlaar, matrici k universali per algebre Kac-Moody quantistiche ,https://arxiv.org/abs/2007.09218