Cosa è $a$ nella serie Tayor?

Question

Quindi sto cercando di imparare un po 'di calcolo II da solo prima del mio primo semestre universitario (online). Sto studiando Taylor e le serie di potenze proprio ora attraverso gli appunti di matematica di Paul .

Anche se capisco come ottenere i coefficienti delle serie di potenze come l'autore ha ben delineato, sono confuso su cosa sia la variabile '$a$'rappresenta:

È '$a$"solo un valore vicino a"$x$'? Se è così perché?

L'affermazione specifica che la formula per $f(x)$ sopra è la serie Taylor per $f(x)$ di $x = a$. Qualcuno può spiegare cosa significa?

Sapere questo sarebbe utile perché in seguito provano a introdurre la serie Maclaurin come la serie di Taylor su a = 0 ex = 0 ...

Qualsiasi guida è molto apprezzata!

Answer 1

L'idea della serie Taylor di espandere una funzione è di prendere un punto $a$e prendere informazioni sulla funzione a quel punto. Queste informazioni includono il valore della funzione in quel punto e come la funzione "cambia" in quel punto specifico (motivo per cui sono coinvolti i derivati). Usiamo quindi queste informazioni per "replicare" la funzione attraverso un polinomio (potenzialmente infinito).

In definitiva, devi scegliere qual è il valore di $a$vuoi prendere. Se${a=0}$ - stiamo prendendo informazioni sulla funzione al punto ${x=0}$.

Nota che "$a$ essendo un punto vicino a $x$"in questo contesto non avrebbe senso, perché $a$sarà una variabile statica costante. Quello che voglio dire è che scegli il valore di$a$ prima , e poi ottieni il polinomio che ti interessa - e$x$è solo una variabile libera. Ad esempio, se volessi espandere qualche funzione${f(x)}$ di ${x=5}$, Vorrei scrivere

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(x-5)^n}{n!}}$$

Se vuoi calcolare ${f(20)}$, ottieni

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(20-5)^n}{n!}}$$

Potrei anche espandermi, diciamo, ${a=3}$ e prendi:

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(x-3)^n}{n!}}$$

Quindi anche

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(20-3)^n}{n!}}$$

( fornito comunque alcune condizioni ).