Cosa mi viene chiesto di fare quando $\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$?

Question

Ho una funzione F$$F=F(t,x,y,z)=e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{4t}}$$

e con questo definiamo una funzione G come $$G=G(t)=\displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty }\displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty }F(t,x,y,z) dxdydz$$

e anche una funzione H lo è $$H=H(t,x,y,z)=\frac{\Delta F(t,x,y,z)}{G(t)}$$dove $$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

Ho bisogno di valutare $$\displaystyle \int_{1}^{ \infty } H(t,1,2,3) dt$$

ma non ho familiarità con un operatore quindi non so cosa $\Delta$ mi dice di che fare con $F$.

Qualcuno può aiutarmi?

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Quello che ho trovato

$$G(t)=8\pi t \sqrt{\pi t}$$

Answer 1

$$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} $$ è un modo breve per definire espressioni come $\Delta F(t,x,y,z)$. Quindi, in particolare, ti dice di fare qualcosa con le derivate parziali:$$ \Delta F(t,x,y,z) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}F(t,x,y,z)+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}F(t,x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}F(t,x,y,z) . $$ quindi, cosa fare se $F$ è dato da $$ F(t,x,y,z) = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)} $$ Procedi passo dopo passo $$ \frac{\partial}{\partial x} F = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\frac{-x}{2t} $$ (regola della catena), quindi $$ \frac{\partial^2}{\partial x^2} F = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\left(\frac{x}{2t}\right)^2 + e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\cdot\frac{-1}{2t} = e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4t)}\;\cdot\frac{x^2-2t}{4t^2} $$ (regola del prodotto).

Ne lascio un po 'per te. Avanti$\frac{\partial^2}{\partial y^2} F$ e $\frac{\partial^2}{\partial z^2} F$. Quindi aggiungi i tre insieme.