Cosa serve per dimostrare che lo spazio tangente su una varietà è uno spazio vettoriale? [duplicare]
Attualmente sto lavorando con la definizione di vettori tangenti come classi di equivalenza di curve. Così$v =[\gamma]$ e $w=[\sigma]$ dove $v,w$sono i vettori. Voglio dimostrare che la somma di queste due classi di equivalenza è anche una classe di equivalenza per dargli la struttura dello spazio vettoriale. Definiamo la somma come:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
dove $\phi$è un grafico. Capisco che le curve non possono essere aggiunte quando appartengono al collettore, ecco perché prima mappiamo poi nei reali dove può essere eseguito. Quindi, ora che la somma è definita, come posso dimostrare che è un'altra classe in quel punto$p$ su $M$. È sufficiente assicurarsi che la mappa passi$p$? La stessa domanda vale per la moltiplicazione per lo scalare. Grazie
Risposte
Dopo aver letto il tuo post più attentamente, ecco un riassunto di una frase del tuo errore: stai cercando di aggiungere (e moltiplicare scalare) le curve in$\Bbb{R}^n$, piuttosto che le loro velocità. Come hai osservato, l'aggiunta delle curve confonde le cose con i punti base.
Come set, abbiamo $T_pM$ è l'insieme delle classi di equivalenza delle curve morbide, $[\gamma]$, dove $\gamma$ è definito su qualche intervallo aperto contenente $0$ tale che $\gamma(0)=p$. Ora, per qualsiasi grafico$(U,\phi)$ sul punto $p$, considera la funzione $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ definito come \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Questa funzione è ben definita a causa di come viene definita la relazione di equivalenza. Notare il significato intuitivo:$\gamma$ è una curva con valori nel collettore $M$, quindi se usiamo un grafico, possiamo ottenere una curva corrispondente $\phi\circ \gamma$ con valori nello spazio di Banach (cioè uno spazio vettoriale normato) $\Bbb{R}^n$, e sappiamo come funziona il calcolo nell'impostazione degli spazi vettoriali. Quindi, tutta questa mappa$F_{\phi,p}$ fa è che ci vuole una curva $[\gamma]$ e lo associa al "vettore velocità" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Spero che questo sia intuitivo (altrimenti, disegna solo alcune immagini per vedere dove si trova ogni oggetto).
Ora è anche facile verificarlo $F_{\phi,p}$è una funzione biiettiva; Lascio a te la verifica$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ definito come \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}è la funzione inversa. In parole, quello che stiamo facendo è prendere un vettore$v\in\Bbb{R}^n$e considerando la linea retta $t\mapsto \phi(p)+tv$. Questa è una curva basata sul punto$\phi(p)$, nella direzione $v$. Da$\phi$ è un omeomorfismo, ne consegue che per valori abbastanza piccoli di $t$, noi abbiamo $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, quindi possiamo considerare la classe di equivalenza della curva $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Allora, cosa ha prodotto tutta questa notazione extra? Ebbene, abbiamo una funzione biiettiva$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, e naturalmente, $\Bbb{R}^n$ è uno spazio vettoriale, quindi con l'algebra lineare di base, possiamo "ritirare" la struttura dello spazio vettoriale di $\Bbb{R}^n$ in modo da fare $F_{\phi,p}$un isomorfismo lineare. In modo esplicito, ciò che intendo è che possiamo definire addizione e moltiplicazione scalare$+_{\phi}$ e $\cdot_{\phi}$ (Ho messo il pedice perché tutto dipende dal grafico finora) come segue: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Se srotoli tutte le definizioni, allora \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Si spera che l'idea sia abbastanza chiara: hai una biiezione, quindi sposti tutto in avanti, esegui i calcoli $\Bbb{R}^n$, quindi riporta tutto a $T_pM$, ed è così che viene definita l'addizione e la moltiplicazione scalare. Lascio a voi che tutti gli assiomi dello spazio vettoriale siano soddisfatti e questo$F_{\phi,p}$ è un isomorfismo lineare ecc.
Un'ultima cosa da notare è che finora l'addizione e la moltiplicazione scalare sono state definite utilizzando un grafico particolare $(U,\phi)$, ma in realtà, è un semplice esercizio di regola della catena per verificare se hai un grafico diverso $(V,\psi)$, poi $+_{\phi}=+_{\psi}$ e $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, quindi la struttura dello spazio vettoriale $T_pM$ è in realtà indipendente dal grafico, quindi lo denotiamo semplicemente come $+$ e $\cdot$come di solito. Lascio a te il compito di srotolare le definizioni, utilizzare la regola della catena ecc. Per verificarlo. Se hai problemi, fammi sapere, forse posso elaborare di più.