Cosa significa che il modello può riflettere il "sorriso della volatilità"
So che la volatilità implicita è il valore per il quale il modello Black Scholes restituisce il prezzo dell'opzione corretto. So anche che se tracciamo la volatilità sul grafico del prezzo di esercizio, vedremo "sorridere". Ciò significa che il modello di Black Scholes non è appropriato per la valutazione perché presuppone una volatilità costante. Ma cosa significa che un altro modello (es. Modello Kou) può riflettere il sorriso della volatilità? Anche questo modello ipotizzava una volatilità costante. Significa che nel modello Kou il grafico della volatilità implicita è più piatto, ovvero che la volatilità è più costante rispetto allo strike e alla scadenza?
Risposte
Un modello che riflette il sorriso di volatilità è quello con dinamiche che approssimano i prezzi che producono un sorriso di volatilità implicita. Tuttavia, la tua domanda mi fa sospettare che tu sia confuso su alcuni di questi pezzi, quindi esaminiamolo in modo più dettagliato.
Volatilità implicite $\implies$ Prezzo corretto?
Hai detto che la volatilità implicita nel modello di Black-Scholes fornisce il prezzo "corretto". Questo è un po 'audace poiché non conosciamo il prezzo corretto. Potremmo presumere che il prezzo corretto sia determinato esclusivamente dai prezzi di mercato o da qualche modello, se credi in possibili inefficienze. (Si noti che secondo l'argomento Grossman-Stiglitz, si dovrebbe credere alle inefficienze per brevi periodi di tempo).
Le volatilità implicite sono solo le volatilità che eguagliano i prezzi di mercato e i prezzi di Black-Scholes ( cioè implicite nel modello di Black-Scholes).
Sorriso o sorrisetto?
Citi anche il sorriso volubile anche se quella forma non è universale. Port-1987 nella maggior parte dei mercati azionari, il "sorriso" è stato più un sorrisetto : asimmetrico con una volatilità molto più elevata per prezzi di esercizio inferiori. Per le materie prime, il sorrisetto è molto più pronunciato con volatilità implicite molto più elevate all'aumentare del prezzo di esercizio.
Black-Scholes è inappropriato?
Assumere una volatilità costante significa che il modello di Black-Scholes non è appropriato per la valutazione? No. Il prezzo di Black-Scholes che diverge sistematicamente dai prezzi di mercato significa che il modello è sbagliato, ma "tutti i modelli sono sbagliati", come notoriamente sottolineato da George Box. Tuttavia, il modello di Black-Scholes è ancora utile e quindi appropriato.
Perché Black-Scholes diverge dal prezzo di mercato
I modelli di Black-Scholes e Merton presumono un equilibrio parziale (nessuna interazione tra acquirente e venditore nella fissazione dei prezzi) e limiti per i rendimenti logaritmici che convergono alla normalità. Ciò semplifica i calcoli, anche se non è d'accordo con ciò che osserviamo.
Ci sono tre forze che non sono d'accordo con le ipotesi di Black-Scholes:
- Sappiamo che la volatilità non è costante nel tempo. Questo di solito non è un fattore importante, ma aiuta a spiegare perché a volte guardiamo alle superfici di volatilità .
- Più importante: crediamo che i rendimenti degli asset mostrino code grasse ; la probabilità di ritorni logaritmici insoliti è maggiore di quanto suggerirebbe la normalità. Ciò significa che le opzioni out-of-the-money hanno maggiori probabilità di scadere in-the-money di quanto suggerito da Black-Scholes - e quindi valgono più del prezzo di Black-Scholes. Questo è vero anche se abbiamo indovinato correttamente la volatilità inferiore. Il mercato lo capisce e quindi il prezzo di mercato è più alto. Ciò porta a volatilità implicite più elevate per i prezzi di esercizio, lontano dal prezzo inferiore corrente.
- Altrettanto cruciale: gli investitori non amano le perdite più di quanto amano i guadagni. Ciò porta gli investitori a essere disposti a pagare di più per la protezione contro il ribasso di quanto pagherebbero per il rialzo: le opzioni put sono più costose di quanto suggerirebbero anche le code grasse.
Mettere insieme questi elementi e le volatilità implicite che sono più alte rispetto all'attuale prezzo inferiore è a causa delle code grasse e della preferenza degli investitori per evitare perdite. Se deduciamo queste volatilità implicite da put e call e poi le tracciamo in base ai prezzi di esercizio di tali put e call, otteniamo una curva che è, in effetti, più alta man mano che ci allontaniamo da (prezzi di esercizio ATM, ovvero il prezzo inferiore corrente) .
Cosa mantiene Black-Scholes appropriato?
Ciò che mantiene appropriato il modello di Black-Scholes è il comportamento regolare di quella curva di volatilità. Un buon modello può essere regolato per migliorarlo - e il modello Black-Scholes ci consente di fare esattamente questo. Possiamo utilizzare volatilità implicite più elevate per i prezzi di esercizio al di fuori dell'ATM per correggere le code grasse e gli investitori che non amano le perdite più di quanto non gradiscano i guadagni.
In che modo un modello può riflettere la curva di volatilità?
Una volta compreso tutto ciò, è facile vedere come un modello possa riflettere meglio la curva di volatilità: può consentire una varianza non costante, code più grasse e la preferenza degli investitori per ridurre il rischio di ribasso.
Il modello Kou riflette la curva di volatilità? Lo riflette meglio, perché incorpora i salti (che effettivamente producono code più grasse). Il modello di volatilità di Heston ha anche code più larghe e quindi riflette meglio la curva di volatilità.
Si potrebbe fare di meglio di questi modelli? Sì: anche incorporare agli investitori una maggiore avversione per i rendimenti al ribasso sarebbe intelligente. I modelli GARCH esponenziali consentono questo, ma è necessario modificare il modello Kou o Heston per fare lo stesso.